Записати рівняння еліпса,фокуси якого лежать на осі ординат симетричного відносно початку координат,якщо:
а)пів осі еліпса рівні 7;4
б)відстань між фокусами =24;а екецептристет Е=12/13
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Оскільки фокуси лежать на осі ординат та є симетричними відносно початку координат, то координати фокусів мають вигляд F(0, c) та F'(0, -c), де c - деяка константа.
Тоді рівняння еліпса має вигляд:
x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1, де b - півосі еліпса, а - відстань від центра до фокусів.
a) Оскільки півосі еліпса рівні 7 та 4, то а = 7, b = 4.
За формулою ексцентриситету еліпса e = c/a маємо:
e = sqrt(1 - b^2/a^2) = sqrt(1 - 16/49) = 3/7.
Оскільки фокуси лежать на осі ординат, то координати фокусів мають вигляд F(0, c) та F'(0, -c).
Відомо, що відстань між фокусами 2c = 2ea. Тому:
2c = 2ea => c = ea => c = (3/7)*7 = 3.
Отже, координати фокусів F(0, 3) та F'(0, -3).
Рівняння еліпса:
x^2/16 + y^2/49 = 1.
б) Відстань між фокусами дорівнює 2c = 24.
Також відомо, що ексцентриситет еліпса дорівнює e = c/a - за формулою ексцентриситету.
За формулою ексцентриситету еліпса e = sqrt(1 - b^2/a^2) маємо:
a^2 = b^2 + (2ac)^2/1-c^2.
Підставляючи дані, отримаємо:
24 = 2c => c = 12.
e = c/a = 12/a.
Також відомо, що ексцентриситет еліпса дорівнює е = 12/13.
Звідси:
12/a = 12/13 => a = 13.
Оскільки фокуси лежать на осі ординат, то координати фокусів мають вигляд F(0, c) та F'(0, -c).
Отже, координати фокусів F(0, 12) та F'(0, -12).
Рівняння еліпса:
x^2/169 + y^2/144 = 1.