Question

Найдите экстремы заданных функций
y=2/3x^3-5x^2+12x-14
y=x^4-2x^3-2x^2

Answer 1

Ответ:

.

Пошаговое объяснение:

1 Функция y=2/3x^3-5x^2+12x-14

Для нахождения экстремумов функции сначала найдем производную:

y' = 2x^2 - 10x + 12

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

2x^2 – 10x + 12 = 0

x^2 – 5x + 6 = 0

(x – 2)(x – 3) = 0

Таким образом, есть две точки экстремума: x1 = 2 и x2 = 3. Для того, чтобы определить, какой из этих двух экстремумов является минимумом, а какой - максимумом, нужно проанализировать знак производной вокруг этих точек. При x<2 и x>3, производная положительная, то есть функция монотонно возрастает. При 2<x<3, производная отрицательная, поэтому функция монотонно спадает. Следовательно, точка x1=2 является максимумом, а точка x2=3 является минимумом.

Остается найти значение функции в этих точках:

y(x1) = 2/3(2)^3 - 5(2)^2 + 12(2) - 14 = 2/3

y(x2) = 2/3(3)^3 - 5(3)^2 + 12(3) - 14 = -13/3

2 Функция y=x^4-2x^3-2x^2

Для нахождения экстремумов функции сначала найдем производную:

y' = 4x^3 - 6x^2 - 4x

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

4x^3 - 6x^2 - 4x = 0

4x(x^2 - (3/2)x - 1) = 0

Таким образом, есть три точки, в которых производная равна нулю: x1 = 0, x2 = (3 + √13)/4 и x3 = (3 - √13)/4. Для того чтобы определить, какие из этих точек являются максимумами, а какие – минимумами, нужно проанализировать знак