Question

Розв’язати рівняння:

5sin2 х – 6sinхcos х + cos2 х = 0

(Виконайте розв’язання, запишіть з поясненням

Answer 1

Формулы синуса и косинуса двойного угла:

$\sin2\alpha =2\sin\alpha \cos\alpha$

$\cos2\alpha =\cos^2\alpha -\sin^2\alpha$

Рассмотрим уравнение:

$5\sin2x-6\sin x\cos x + \cos2 x = 0$

$5\cdot2\sin x\cos x-6\sin x\cos x + \cos^2 x-\sin^2x = 0$

$10\sin x\cos x-6\sin x\cos x + \cos^2 x-\sin^2x = 0$

$4\sin x\cos x + \cos^2 x-\sin^2x = 0$

$\sin^2x-4\sin x\cos x - \cos^2 x = 0$

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x\neq 0$:

$\mathrm{tg}^2\,x-4\,\mathrm{tg}\,x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно тангенса:

$D_1=(-2)^2-1\cdot(-1)=5$

$\mathrm{tg}\,x=2\pm\sqrt{5} \Rightarrow x=\mathrm{arctg}\,(2\pm\sqrt{5})+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\mathrm{arctg}\,(2\pm\sqrt{5})+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$