Question

решите ....................​

Answer 1

Ответ.

     Найти   $\bf sin2a$  .

$\bf ctga=-\dfrac{3}{4}\ \ ,\ \ \ 90^\circ < a < 180^\circ$  

Тождество :   $\bf tga\cdot ctga=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ tga=\dfrac{1}{ctga}=-\dfrac{4}{3}$  

Применяем формулу   $\bf sin2a=\dfrac{2\, tga}{1+tg^2a}$   .

$\bf sin2a=\dfrac{-2\cdot \dfrac{4}{3}}{1+\dfrac{16}{9}}=-\dfrac{8}{3\cdot \dfrac{25}{9}}=-\dfrac{8\cdot 3}{25}=-\dfrac{24}{25}$  

Замечание. Докажем формулу.

$\bf sin2a=2\cdot sina\cdot cosa=\dfrac{2\cdot sina\cdot cosa}{sin^2a+cos^2a}=\dfrac{\dfrac{2\cdot sina\cdot cosa}{cos^2a}}{\dfrac{sin^2a+cos^2a}{cos^2a}}=\\\\\\=\dfrac{\dfrac{2\, sina}{cosa}}{\dfrac{sin^2a}{cos^2a}+1}=\dfrac{2\, tga}{1+tg^2a}$

Answer 2

Ответ:

$sin2\alpha =-\frac{24}{25} .$

Решение:

$sin2\alpha -?$

$ctg\alpha =-\frac{3}{4} , 90^{o} < \alpha < 180^{o}$

→ Сначала нам нужно определить - в какой четверти находится угол α. Для этого обратимся к тригонометрической единичной окружности (см. вложение).
Мы видим, что $\alpha$ находится между двумя точками: $90^{o}$ и $180^{o}$. Следовательно угол $\alpha$ находится во II четверти. Отсюда следует, что:

$sin\alpha > 0,\\cos\alpha < 0,\\tg\alpha < 0,\\ctg\alpha < 0;$

Теперь можем приступить к вычислениям.

→ Нам известно, что $ctg\alpha =-\frac{3}{4}$. Зная котангенс угла мы можем найти синус этого же угла. Для этого воспользуемся одним из следствий основного тригонометрического тождества:

$1 +ctg^{2} \alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha } ;$

(Данную формулу мы можем получить, поделив обе части основного тригонометрического тождества на $sin\alpha$:

$sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =1 |:(sin\alpha );\\\frac{sin^{2} \alpha }{sin^{2} \alpha } +\frac{cos^{2} \alpha }{sin^{2} \alpha } = \frac{1}{sin^{2} \alpha } ;\\1+ctg^{2} \alpha =\frac{1}{sin^{2} \alpha }.$).

Следовательно:

$sin^{2} \alpha=\frac{1}{1+ctg^{2} \alpha } ;$

Значит:

$sin^{2} \alpha = \frac{1}{1+(-\frac{3}{4} )^{2} } ;\\sin^{2} \alpha =\frac{1}{1+\frac{9}{16} } ;\\sin^{2} \alpha =1: (\frac{16}{16}+\frac{9}{16} ) ;\\sin^{2} \alpha =1:\frac{25}{16} ;\\sin^{2} \alpha =\frac{16}{25} ;$

$sin \alpha =$ ± $\sqrt{\frac{16}{25} };$

$sin\alpha =$ ± $\frac{\sqrt{16} }{\sqrt{25} };$

$sin\alpha =$ ± $\frac{4 }{5}$.

Мы получаем, что $sin\alpha$ равен или $\frac{4 }{5}$, или $-\frac{4 }{5}$. Исходя из условия  $sin\alpha > 0$, значит нам подходит вариант:  $sin\alpha =\frac{4 }{5}$.

→ Зная синус угла мы можем найти косинус того же угла, воспользовавшись формулой основного тригонометрического тождества:

$sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha=1;$

Следовательно:

$cos^{2} \alpha =1-sin^{2} \alpha ;$

Значит:

$cos^{2} \alpha =1-(\frac{4}{5} )^{2} ;\\cos^{2} \alpha =1-\frac{16}{25} ;\\cos^{2} \alpha =\frac{25}{25} -\frac{16}{25} ;\\cos^{2} \alpha =\frac{9}{25} ;$

$cos\alpha =$ ± $\sqrt{\frac{9}{25} };$

$cos\alpha =$ ± $\frac{\sqrt{9} }{\sqrt{25} } ;$

$cos\alpha =$ ± $\frac{3}{5} .$

И снова мы получаем, что $cos\alpha$ равен или $\frac{3 }{5}$, или $-\frac{3 }{5}$. Обратившись к условию, вспоминаем, что $cos\alpha < 0$, значит нам подходит вариант:  $cos\alpha =-\frac{3 }{5}$.

→ И нам осталось найти $sin2\alpha$. Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$sin2\alpha =2sin\alpha *cos\alpha ;$

(!) Данную формулу мы можем вывести из более общей формулы синуса суммы двух углов:

$sin(\alpha +\beta )=sin\alpha *cos\beta +cos\alpha *sin\beta ;$

Тогда нужно представить синус двойного угла, как синус суммы двух одинаковых углов:

$sin(\alpha +\alpha )=sin\alpha *cos\alpha +cos\alpha *sin\alpha ;\\sin2\alpha =2sin\alpha *cos\alpha ;$

Значит:

$sin2\alpha =2*\frac{4}{5} * (-\frac{3}{5} );\\sin2\alpha =-\frac{2*4*3}{5*5} ;\\sin2\alpha =-\frac{24}{25} .$

__________
Удачи Вам! :)