СРОЧНО.Десятий член геометричної прогресії у 9 разів більший за 8, а сумма 3 і 6 дорівнює 168. знайдіть перший член та кількість членів.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Позначимо перший член геометричної прогресії як а, а різницю між членами як r. Тоді за умовою задачі:
10-й член: ar^9 = 8r^9 = 9a (оскільки 10-й член у 9 разів більший за 8-й)
Сума 3 і 6 членів: a(1-r^3)/(1-r) + a(1-r^6)/(1-r) = 168
Можемо виразити a з першого рівняння і підставити в друге рівняння:
8r^9 = 9a
a = 8r^9/9
a(1-r^3)/(1-r) + a(1-r^6)/(1-r) = 168
8r^9(1-r^3)/(9(1-r)) + 8r^9(1-r^6)/(9(1-r)) = 168
8r^9(1+r^3)(1+r^6)/(9(1-r)) = 168
r^9(1+r^3)(1+r^6)/(1-r) = 21
Помітимо, що r=1 не підходить, оскільки у цьому випадку всі члени будуть однаковими, що не відповідає умові задачі.
Розкриємо дужки в чисельнику:
r^9 + r^12 + r^6 + r^9 = 21(1-r)
Скоротимо на r^6 і перенесемо все в ліву частину:
r^6 - 21r^5 + r^3 + r^6 - 21r^3 + 1 = 0
Дане рівняння має три корені: r=1/3, r=-1, r=1. При r=1/3 та r=-1 не можуть бути утворені дійсні члени геометричної прогресії, тому приймаємо r=1. Тоді:
8r^9 = 9a
8 = 9a
a = 8/9
Отже, перший член геометричної прогресії - 8/9, кількість членів - необмежена (геометрична прогресія з рівними членами).