У кулю вписано піраміду, основа якої - прямокутний трикутник із гвпотенузою завдовжки 2 см. Знайдіть об'єм кулі, якщо всі бічні ребра піраміди утворюють з її висотою кути по 30°
(будь ласка з поясненням)
Ответы
Ответ:
Щоб знайти об'єм кулі, нам потрібно знати її радіус. Оскільки піраміда вписана в кулю, це означає, що радіус кулі дорівнює радіусу описаного навколо піраміди шару. Щоб знайти радіус описаного навколо піраміди шару, спочатку знайдемо довжину його радіуса (тобто відрізка від центра описаного шару до середини однієї з граней піраміди).
Оскільки бічні ребра піраміди утворюють з її висотою кути по 30°, то піраміда є правильною трикутною пірамідою з основою, що є рівнобедреним прямокутним трикутником з катетами довжиною 2 см. Оскільки у рівнобедреному прямокутному трикутнику катети дорівнюють 2/√2 = √2 см, то його гіпотенуза дорівнює 2 см.
Розглянемо одну зі сторін основи піраміди, яка ділить гіпотенузу на дві рівні частини і утворює з нею кут 45°. Оскільки трикутник з цією стороною, гіпотенузою та серединним перпендикуляром до гіпотенузи є прямокутним, то цей перпендикуляр дорівнює √2/2 см. Цей перпендикуляр є радіусом описаного навколо піраміди шару, тому радіус описаного навколо піраміди шару дорівнює √2/2 см.
Тоді радіус кулі дорівнює √2/2 см, а об'єм кулі можна знайти за формулою:
V = (4/3)πr³ = (4/3)π(√2/2)³ = (4/3)π(2√2/8) = (1/3)π√2
Отже, об'єм кулі дорівнює (1/3)π