Question

Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 12 см і 20 см. Знайдіть периметр трикутника. СРОЧНО

Answer 1

Ответ:

Ниже.

Пошаговое объяснение:

Позначимо катети прямокутного трикутника як a і b. Згідно з умовою, бісектриса гострого кута ділить катет b на дві частини, довжини яких дорівнюють 12 см і 20 см.

Застосуємо теорему про бісектрису трикутника, згідно з якою бісектриса ділить протилежний відрізок у відповідних пропорціях до довжин прилеглих сторін трикутника:

b/a = 20/12 = 5/3

Отже, ми знаємо, що b дорівнює 5/3 a.

Так як трикутник є прямокутним, то ми можемо використовувати теорему Піфагора:

a^2 + b^2 = c^2

Де c - гіпотенуза.

Підставляємо b = 5/3 a і маємо:

a^2 + (5/3 a)^2 = c^2

Розв'язуючи для c, ми маємо:

c = sqrt(a^2 + (5/3 a)^2) = a sqrt(34)/3

Периметр трикутника дорівнює:

P = a + b + c = a + 5/3 a + a sqrt(34)/3 = (8/3 + sqrt(34)/3) a

З умови задачі відомо, що b дорівнює 12 см + 20 см = 32 см. За допомогою виразу b = 5/3 a, ми можемо знайти a:

5/3 a = 32 см => a = 19.2 см

Тоді периметр трикутника P = (8/3 + sqrt(34)/3) a = (8/3 + sqrt(34)/3) * 19.2 см ≈ 56.4 см.

Отже, периметр прямокутного трикутника дорівнює близько 56.4 см.

Answer 2

Ответ:

96.

Пошаговое объяснение:

Пусть катеты a и b, гипотенуза c;  катет b делится биссектрисой на отрезки 12 и 20, тогда по свойству биссектрисы

           $\dfrac{a}{c}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow a=3x;\ c=5x\Rightarrow b=4x=32;\ x=8; a=24;\ c=40;$

                             $P=a+b+c=24+32+40=96.$

Замечание. Всем известен египетский треугольник - прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5; наш треугольник подобен египетскому. Впрочем, желающие могут найти b по теореме Пифагора:

                  $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{25x^2-9x^2}=\sqrt{16x^2}=4x.$