Question

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см. Апофема утворює з площиною основи Кут 60°. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди (у см )​

Answer 1

Ответ:

Sбок. = 24(см²)

Объяснение:

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 3 см. Апофема образует с плоскостью основания Угол 60°. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

------------------------------------------------------

Дано: SABCD - правильная четырёхугольная пирамида, SK - апофема, SO - высота, SO = 3(см), ∠(SK;(ABC)) = 60°.

Найти: Sбок.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

• Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость. Проведем апофему SK⟂AB, по теореме о трёх перпендикулярах его проекция КО также перпендикулярна АВ. Следовательно ∠(SK;(ABC)) = ∠SKO = 60°.
• Пирамида правильная, следовательно в основании лежит правильный многоугольник. В нашем случаи квадрат. Все боковые грани - равнобедренные треугольники.
• Рассмотрим ∆SKO - прямоугольный(SO⟂KP). Синус угла(SKO) равен отношению противолежащего катета(SO) на гипотенузу(SK).

$\displaystyle \sf \sin60 {}^ { \circ} = \frac{SO}{SK}$

$\displaystyle \sf \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{3}{SK}$

$\displaystyle SK = \frac{6}{ \sqrt{3} } \,*\, \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }$

$\displaystyle \boldsymbol{SK = \frac{ \not6 \sqrt{3} }{ \not3} = 2 \sqrt{3} (cm )}$

• Тангенс угла(SKO) равен отношению противолежащего катета(SO) к прилежащему(KO), тогда: $\displaystyle KO = \frac{SO}{tg\angle SKO} =\frac{ 3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$(cm)
• Т.к. КО || AD и О - середина BD, то KO - средняя линия ∆ABD и равна половине основы AD, таким образом AD = 2 * KO = 2√3(см)
• Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
• Найдем периметр основания(квадрата): Р = 4а, где а - сторона. Р = 4*2√3 = 8√3(см).
• Находим площадь:

⠀⠀⠀Sбок. = 1/2 * 8√3 * 2√3 = 4√3 * 2√3 = 24(см²)

#SPJ1