AB и CD - диаметры окружности с центром в точке O. Докажите, что хорды AC и BD равны и параллерны.
Ответы
Рассмотрим треугольник AOB с основанием AB и высотой OH, где H - середина отрезка AB, а O - центр окружности.
Так как AB является диаметром окружности, то угол AOB является прямым. Следовательно, OH является высотой, а AO и BO - катетами прямоугольного треугольника.
Так как AO = BO (по определению диаметра), то треугольник AOB является равнобедренным. Следовательно, HO является биссектрисой угла AHB.
Теперь рассмотрим треугольник ACD. Углы ADC и ABC являются прямыми, так как они являются углами, соответствующими диаметрам AB и CD. Следовательно, угол ACD равен углу ABD, так как они смежные и оба являются половинами угла AOB.
Таким образом, треугольники ACD и ABD имеют два равных угла (ACD и ABD, а также ADB и ACD), следовательно, они подобны. Следовательно, отрезки AC и BD имеют одинаковые длины и параллельны, так как соответствующие стороны параллельных треугольников пропорциональны.