Точка I — центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°), отрезок CE — биссектриса треугольника ABC и верно равенство CI : IE = √3 ∶ √2. Найдите размеры острых углов треугольника ABC.
Ответы
Ответ:Позначимо точку перетину бисектриси CE з гіпотенузою AB як точку D. Оскільки точка I є центром вписаної в треугольник ABC окружності, то IC і IB є радіусами цієї окружності. Таким чином, маємо наступне співвідношення:
IC = IB = r,
де r - радіус вписаної в ABC окружності.
За теоремою про бісектрису у трікутнику, маємо:
CE/CD = AB/BD,
або, підставляючи відповідні значення:
r/CD = AB/(AB + BD).
Оскільки BD = CD, то маємо:
r/CD = AB/(AB + CD),
звідки
CD = (AB + CD) * r / AB,
або
CD / AB = r / (AB - r).
З іншого боку, з умови задачі випливає, що
CI : IE = √3 ∶ √2,
тому
CI = (√3 / (√3 + √2)) * r,
IE = (√2 / (√3 + √2)) * r.
Таким чином, ми отримали вирази для різних сторін трикутника ABC, в термінах радіуса вписаної в нього окружності r та довжини сторони AB.
Позначимо кут BAC як α. Тоді за теоремою синусів для трикутника ABC маємо:
AB/ sin α = 2r,
або
sin α = AB / 2r.
Підставляючи відповідні значення для AB, CD та r, отримаємо:
sin α = AB / (2 * r) =
Пошаговое объяснение: