Question

В основі піраміди SABC лежить прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°) з катетом CB = a і прилеглим гострим кутом β. Всі її бічні ребра нахилені до площини основи під кутом a (альфа).

1. Визначте довжину висоти заданої піраміди.

2. Знайдіть об'єм цієї піраміди.

3. Укажіть лінійний кут γ двогранного кута при ребрі AC основи цієї піраміди.

4. Визначте кут γ


Есть ответы, но нужно решение.

Answer 1

Ответ:

1.  $\displaystyle \bf h=\frac{a\;tg\alpha }{2cos\beta }$

2.  $\displaystyle \bf V=\frac{a^3\;tg\alpha \;tg\beta }{12cos\beta }$

3.   γ = ∠SKH - линейный угол двугранного угла при ребре AC основания этой пирамиды.

4.    $\displaystyle \bf \gamma=arctg\left(\frac{tg\alpha }{cos\beta } \right)$

Объяснение:

В основе пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°) с катетом CB = a и прилегающим острым углом β. Все ее боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом α.

1. определите длину высоты заданной пирамиды.

2. Найдите объем этой пирамиды.

3. укажите линейный угол γ двугранного угла при ребре AC основания этой пирамиды.

4. определите угол γ.

Дано: SABC - пирамида;

ΔАВС - прямоугольный;

СВ = а; ∠СВА = β;

Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом α.

Найти:

1. длину высоты пирамиды.

2. Найдите объем пирамиды.

3. укажите линейный угол γ двугранного угла при ребре AC основания этой пирамиды.

4. определите угол γ.

Решение:

• Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то ребра равны, а около основания пирамиды можно описать окружность, при этом вершина пирамиды проектируется в ее центр.

ΔАВС - прямоугольный.

• Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.

⇒ Н - середина гипотенузы и центр описанной окружности.

SH - высота пирамиды.

Определим ∠α.

• Угол между прямой и плоскостью - угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость.

ВН ⊥ (АВС) ⇒ HA - проекция SA на (АВС)

∠SAH = α.

1. Найдем высоту пирамиды.

Рассмотрим ΔВСА - прямоугольный.

• Косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle \frac{BC}{BA}=cos\beta \\ \\\bf BA=\frac{BC}{cos\beta } =\frac{a}{cos\beta }$

Рассмотрим ΔHSA - прямоугольный.

$\displaystyle BH = HA=\frac{a}{2cos\beta }$

• Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилежащему.

$\displaystyle tg\alpha =\frac{SH}{HA} \;\;\;\Rightarrow \;\;\;\bf SH=HA\cdot tg\alpha =\frac{a\;tg\alpha }{2cos\beta }$

2. Найдем объем пирамиды.

$\displaystyle \bf V=\frac{1}{3} S_{OCH}\cdot h$

$\displaystyle h = SH=\frac{a\;tg\alpha }{2cos\beta }$

Чтобы найти Sосн, надо найти катет АС.

$\displaystyle tg\beta =\frac{AC}{BC}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;AC=a\;tg\beta$

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

$\displaystyle S_{OCH}=\frac{1}{2} a\cdot a\;tg\beta =\frac{a^2tg\beta }{2}$

$\displaystyle \bf V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2tg\beta }{2}\cdot \frac{a\;tg\alpha }{2cos\beta } =\frac{a^3\;tg\alpha \;tg\beta }{12cos\beta }$

4. Определим линейный угол двугранного угла при ребре AC.

• Линейный угол образован лучами, которые лежат в гранях двугранного угла и перпендикулярны его ребру.

Из точки S проветем SK ⊥ CA. Соединим К и Н.

КН - проекция SK на (АВС)

• Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ей самой, перпендикулярна и ее проекции.

⇒ НК ⊥ СА.

⇒ γ = ∠SKH - искомый линейный угол.

4. Найдем этот угол γ.

ВС ⊥ СА,    НК ⊥ СА.

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ ВС || HK.

SK - высота равнобедренного ΔCSA

⇒ SK - медиана, СК = КА

• Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

⇒ НК - средняя линия.

• Средняя линия равна половине стороны, которую она не пересекает.

$\displaystyle HK=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$

$\displaystyle tg\gamma=\frac{SH}{HK}=\frac{a\;tg\alpha\cdot2 }{2cos\beta\cdot a } = \frac{tg\alpha }{cos\beta }$

⇒   $\displaystyle \bf \gamma=arctg\left(\frac{tg\alpha }{cos\beta } \right)$

SPJ1