1. Знайти похідну складеної функції a) y= (2x4 + 5x)3 б) y=5/6x2 + 12x в) y = t3³/2t3 + 2t 60б пожалуйста нужно уже сегодня
Ответы
Ответ:
a) Починаємо зі складеної функції y = u³, де u = 2x⁴ + 5x. Застосуємо правило ланцюжків для знаходження похідної:
(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx)
Для першої частини маємо:
(dy/du) = 3u²
Для другої частини маємо:
(du/dx) = 8x³ + 5
Застосовуючи ці дві формули, отримаємо:
(dy/dx) = 3(2x⁴ + 5x)²(8x³ + 5)
Таким чином, похідна складеної функції y = (2x⁴ + 5x)³ дорівнює 3(2x⁴ + 5x)²(8x³ + 5).
б) Почнемо зі складання функцій:
f(x) = 5/6x^2 + 12x
g(x) = x
Отже, y = f(g(x)) = 5/6g(x)^2 + 12g(x) = 5/6x^2 + 12x.
Тепер знайдемо похідну цієї складеної функції за правилом ланцюгового диференціювання:
y' = f'(g(x)) * g'(x)
Для початку, знайдемо похідну f(x):
f'(x) = d/dx (5/6x^2 + 12x) = 10/6x + 12 = 5/3x + 12
Тепер знайдемо похідну g(x):
g'(x) = d/dx (x) = 1
Замінюємо ці значення в формулі для похідної складеної функції:
y' = f'(g(x)) * g'(x) = (5/3x + 12) * 1 = 5/3x + 12
в) Для знаходження похідної складеної функції необхідно використовувати правило ланцюгового диференціювання. За цим правилом, якщо маємо функцію вигляду f(g(x)), то похідна цієї функції дорівнює добутку похідної функції f взятій в точці g(x) та похідної функції g взятій в точці x.
Застосуємо це правило до заданої функції:
y = t^3 / (√t^3 + 2t)
Для початку знайдемо похідну функції g(t):
g(t) = √(t^3) + 2t
g'(t) = 3t^2 / (2√(t^3)) + 2
= 3t / (2√t^3) + 2
Тепер знайдемо похідну функції f(g):
f(g) = g^3
f'(g) = 3g^2
Залишилося тільки підставити значення g(t) та g'(t) в формулу ланцюгового диференціювання:
y' = f'(g(t)) * g'(t) = 3(g(t))^2 * (3t / (2√t^3) + 2)
Підставимо g(t) в це рівняння:
y' = 3(√(t^3) + 2t)^2 * (3t / (2√t^3) + 2)
Отже, похідна складеної функції дорівнює 3(√(t^3) + 2t)^2 * (3t / (2√t^3) + 2).
Объяснение: