Question

СРОЧНО 100, БПЛІВ (тільки не кидайте відповіді які в браіні вже є, я їх не можу зрозуміти)7. На основі AC рівнобедреного трикутника ABC узято точки Е та D так, що AE = CD. Доведи, що BE = BD.

Answer 1

Відповідь:

Для доведення того, що BE = BD, спочатку звернемо увагу на те, що трикутник ABC є рівнобедреним, тому ми знаємо, що AB = AC.

Оскільки AE = CD, то ми можемо побудувати дві нові лінії: AE і CD, які перетинаються у точці F, яка лежить на серединній лінії BC.

Також з очевидних пропорцій ми маємо EF/ED = AC/AB, або ж EF/ED = 1.

За теоремою про серединну лінію у трикутнику ми знаємо, що BF = FC, тому ми можемо записати, що:

BE = BF + EF

BD = BC - CD + ED

Але, оскільки трикутник ABC є рівнобедреним, ми маємо AB = AC, тому:

BE = BC - BF

BD = BC - CD

Отже, ми можемо записати:

BE = BC - BF = BD + CD - BF = BD

Отже, BE = BD, що і треба було довести.

Альтернативно, ми можемо використати теорему про бісектрису у трикутнику, що каже, що бісектриса кута розділяє протилежну сторону в пропорції до інших двох сторін. Оскільки трикутник ABC є рівнобедреним, то бісектриса кута BAC перетинає сторону BC у точці M, де AM є медіаною, але також і бісектрисою кута BAC. Оскільки AE = CD, то точка D має бути симетричною до точки E відносно до середини BC, тобто точка D також повинна лежати на бісектрисі кута BAC, що проходить через точку M. Звідси випливає, що BE = BD.

Пояснення: