Question

В прямоугольном треугольнике KPE угол P= 90 градусов, угол K= 60 градусов. На катете PE отметили точку M такую, что угол KMP= 60 градусов. Найдите PM, если EM= 26 см

Answer 1

Ответ:

Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим длину отрезка PM как x. Тогда, по теореме косинусов, имеем:

KP^2 = KM^2 + MP^2 - 2 * KM * MP * cos(KMP)

Заметим, что угол KMP равен 60 градусов, а угол K равен 60 градусов. Значит, угол PMK также равен 60 градусов. Тогда по теореме синусов:

KM / KP = sin(KPM) / sin(KMP)

KM / KP = sin(60) / sin(60)

KM / KP = 1 / 2

KM = KP / 2

Теперь можно записать уравнение для KP:

KP^2 = KM^2 + MP^2 - 2 * KM * MP * cos(60)

KP^2 = (KP/2)^2 + x^2 - 2 * (KP/2) * x * 1/2

KP^2 = KP^2/4 + x^2 - KP * x / 2

Умножаем обе части на 4:

4 * KP^2 = KP^2 + 4 * x^2 - 2 * KP * x

3 * KP^2 - 2 * KP * x - 4 * x^2 = 0

Теперь можно решить это квадратное уравнение относительно KP:

KP = (2 * x + sqrt(12 * x^2)) / 6

KP = (x + sqrt(3) * x) / 3

KP = x * (1 + sqrt(3)) / 3

Из прямоугольного треугольника KPE следует, что KP = PE * sin(K) = 2 * EM = 52 см. Теперь можно записать уравнение для x:

x * (1 + sqrt(3)) / 3 = 52 / 2

x = 26 / (1 + sqrt(3)) * 3 / 2

x = 13 * (3 - sqrt(3)) см

Таким образом, PM = x = 13 * (3 - sqrt(3)) см.