Question

cos 3x + cos 5x = 0; ​

Answer 1

Формула суммы косинусов:

$\cos\alpha +\cos\beta =2\cos\dfrac{\alpha +\beta }{2} \cos\dfrac{\alpha-\beta }{2}$

Рассмотрим уравнение:

$\cos3x+\cos5x=0$

$2\cos\dfrac{3x+5x}{2}\cos\dfrac{3x-5x}{2}=0$

$2\cos4x\cos(-x)=0$

$\cos4x\cos x=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен 0:

$\cos4x=0\Rightarrow 4x=\dfrac{\pi }{2} +\pi n\Rightarrow \boxed{x_1=\dfrac{\pi }{8} +\dfrac{\pi n}{4} .\ n\in\mathbb{Z}}$

$\cos x=0\Rightarrow\boxed{ x_2=\dfrac{\pi }{2} +\pi n .\ n\in\mathbb{Z}}$

Ответ: $\dfrac{\pi }{8} +\dfrac{\pi n}{4} ;\ \dfrac{\pi }{2} +\pi n .\ n\in\mathbb{Z}$