Question

Фермер хочет оградить прямоугольный участок по одну сторону реки, таким образом,
что река будет огораживать одну из сторон загона. Общая длина имеющегося штакетника
составляет 80 метров. Пусть у метров длина их метров ширина этого прямоугольного
участка соответственно, а S - его площадь.
а) Выразите у через х.
b) Найдите выражение для S через х, указав ограничения для х.
c) При каких размерах площадь участка будет максимальной?​

Answer 1

Ответ:

(a) Выразить y через x.

Для этого вам нужно использовать условие, что общая длина забора равна 80 метров. Так как река ограничивает одну сторону прямоугольника, то периметр прямоугольника равен сумме трех сторон:

80 = x + 2y

Отсюда вы можете выразить y через x:

y = 40 - x/2

(b) Найти выражение для S через x, указав ограничения для x.

Для этого вам нужно использовать формулу для площади прямоугольника:

S = x * y

Подставив y из предыдущего пункта, вы получите:

S = x * (40 - x/2) = 40x - x^2/2

Ограничения для x следуют из того, что x и y должны быть положительными числами:

0 < x < 80

© При каких размерах площадь участка будет максимальной?

Для этого вам нужно найти максимум функции S(x) на интервале (0, 80). Для этого вам нужно найти производную функции S(x) и приравнять ее к нулю:

S’(x) = 40 - x = 0

x = 40

Это критическая точка функции S(x). Чтобы проверить, что это точка максимума, вам нужно использовать вторую производную или тест первой производной. Например, вы можете посчитать вторую производную и подставить x = 40:

S’'(x) = -1

S’'(40) = -1

Так как вторая производная отрицательна, то это значит, что функция S(x) имеет максимум в точке x = 40. Это значит, что площадь участка будет максимальной, когда x = 40 метров и y = 20 метров. Вы можете проверить это, подставив x и y в формулу для S:

S = 40 * 20 = 800

Объяснение: