Question

Об'єм конуса дорівнює V. Паралельно основі конуса проведено переріз, що ділить висоту навпіл. Чому дорівнює відношення об'ємів отриманих частин конуса?​

Answer 1

Этот ответ более точный: Нехай задано конус, об'єм якого V.
Позначимо R - радіус основи конуса,
h = ОР - висота конуса.
Проведемо переріз паралельний основі через середину ОР,
нехай т.О1 - центр переріз (в перерізі отримаємо коло).
Позначимо r - радіус перерізу.
Проведемо твірну РА,
т.А1 - точка перетину РА із перерізом.
Тоді маємо О1А = r, ОА = R, РО = h,

P
O
1
=
h
2
ΔРОА волна ΔРО1А1 (за двома кутами), тому:


O
A
O
1
A
1
=
P
O
P
O
1
,



R
r
=
h
h
2
,
звідси

r
=
R
2
.
Знайдемо об'єм V конуса з центром основи в т.О

V
=
1
3
Π
R
2
h
.
Тоді об'єм конуса з центром в т.О1:


V
1
=
1
3
Π
R
2
h
2
=



=
1
3
Π
(
R
2
)
2
⋅
h
2
=



=
1
8
⋅
1
3
Π
R
2
h
=
1
8
V
.
Знайдемо об'єм нижньої частини конуса. V2 = V - V1 =


=
V
−
1
8
V
=
7
8
V
.
Знайдемо відношення об'ємів частин конуса, що утворилися при перетині площиною:





V
1
V
2
=
1
8
V
7
8
V
=
1
7
V1 : V2 = 1 : 7.
Відповідь: 1 : 7