Question

ABCD четырехугольник , вокруг которого можно описать окружность. AB= 26, BC = 10 , ∠ABD = 45 , ∠ACB = 90 .Определите площадь треугольника DAC

Answer 1

Ответ:

84.

Объяснение:

 Поскольку вписанный угол ACB  прямой, он опирается на диаметр. Таким образом, AB - это диаметр, а опирающийся на него угол ADB  тоже прямой. А поскольку угол ABD равен 45°, треугольник ABD - прямоугольный равнобедренный с катетами  $AD=BD=13\sqrt{2}.$ В прямоугольном треугольнике ABC известны гипотенуза AB=26 и катет BC=10, откуда второй катет AC=24 (кстати, стороны этого треугольника в два раза больше сторон известного треугольника

5-12-13. Чтобы найти площадь треугольника DAC, остается найти синус угла DAC (обозначения на чертеже):

$\sin\alpha=\sin(45^{\circ}-\beta)=\sin 45^{\circ}\cdot \cos \beta-\cos 45^{\circ}\cdot \sin \beta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{12}{13}-\dfrac{5}{13}\right)=\dfrac{7\sqrt{2}}{26}.$

Поэтому

    $S_{DAC}=\dfrac{1}{2}AD\cdot AC\cdot\sin \alpha=\dfrac{1}{2}\cdot 13\sqrt{2}\cdot 24\cdot \dfrac{7\sqrt{2}}{26}=84.$

Замечание. Можно пойти другим путем: с помощью теоремы Птолемея (произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон) найти сторону DC, после чего площадь искомого треугольника найти с помощью формулы Герона (вычисления оказываются очень простыми):

                        $26\cdot CD+130\sqrt{2}=24\cdot 13\sqrt{2};\ CD=7\sqrt{2};$

стороны треугольника равны

                 $a=CD=7\sqrt{2};\ c=AD=13\sqrt{2};\ d=AC=24;$

   $S=\sqrt{p(p-a)(p-c)(p-d)}=\sqrt{(10\sqrt{2}+12)(3\sqrt{2}+12)(12-3\sqrt{2})(10\sqrt{2}-12)}=$

              $=\sqrt{\left((10\sqrt{2}+12)(10\sqrt{2}-12)\right)\left((12+3\sqrt{2})(12-3\sqrt{2})_\right)}=$

      $=\sqrt{(200-144)(144-18)}=\sqrt{56\cdot 126}=\sqrt{7\cdot 8\cdot 2\cdot 7\cdot 9}=\sqrt{7^2\cdot 4^2\cdot 3^2}=$

                                                    $=7\cdot 4\cdot 3=84.$