Question

Бісектриси АМ і ВК рівносто- роннього трикутника АВС пере- тинаються в точці О. Доведіть, що AO:OM = 2:1

Answer 1

Ответ:

Доведено, що AO:OM = 2:1

Объяснение:

Бісектриси АМ і ВК рівностороннього трикутника АВС перетинаються в точці О. Доведіть, що AO:OM = 2:1.

Властивості рівностороннього трикутника:

• У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні.
• У рівносторонньому трикутнику висота, медіана, бісектриса, проведені з однієї вершини, збігаються.

Властивості прямокутного трикутника:

• Якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то протилежний цьому куту катет буде дорівнювати половині гіпотенузи.

Доведения:

Нехай ΔАВС - даний равносторонній трикутник. АВ=ВС=АС.

АМ і ВК - його бісектриси, які перетинаються в точці О.

За властивістю рівносторонньго трикутника:

∠А=∠В=∠С=60°

Тоді:

∠САМ=∠ВАМ=30° (так як АМ - бісектриса ∠А)

∠АВК=∠СВК=30° (так як ВК - бісектриса ∠В)

Розглянемо ΔВОМ

Так як в рівносторонньому трикутнику АВС бісектриса є висотою, то АМ⊥ВС ⇒ ΔВМО - прямокутний (∠ВМО=90°)

Катет ОМ  трикутника ВМО лежить проти кута ∠МВО=30°, отже він дорівнює половіні гіпотенузи ВО (за властивістю):

ОМ=1/2·ВО, ⇒ ВО=2·ОМ.

Розглянемо ΔАОВ

∠ВАО=∠АВО=30°, тоді ΔАОВ - рівнобедрений з основою АВ.

Отже АО=ВО=2·ОМ - як бічні сторони рівнобедреного трикутника.

АО:ОМ=2:1

що і треба було довести.

#SPJ1