Question

б)Найдите значение cos 2a, tg2a, если
90<а<180° и sina=3/5
​

Answer 1

Ответ:

$\bf sina=\dfrac{3}{5}\ \ ,\ \ \ 90^\circ < a < 180^\circ$  

Воспользуемся формулами двойного угла .

$\bf \displaystyle cos2a=cos^2a-sin^2a=(1-sin^2a)-sin^2a=1-2sin^2a\ \ ,\\\\cos2a=1-2\cdot \Big(\frac{3}{5}\Big)^2=1-\frac{2\cdot 9}{25}=\frac{25-18}{25}=\frac{7}{25}$  

Применим одно из основных тригонометрических тождеств :

$\bf \displaystyle 1+tg^22a=\frac{1}{cos^22a}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ tg^22a=\dfrac{1}{cos^22a}-1\\\\\\tg^22a=\frac{1}{\Big(\dfrac{7}{25}\Big)^2}-1=\frac{625}{49}-1=\frac{625-49}{49}=\frac{576}{49}\ \ \Rightarrow \ \ \ tg2a=\pm \frac{24}{7}$  

Определим знак функции.

$\bf 90^\circ < a < 180^\circ\ \ \Rightarrow \ \ \ 180^\circ < 2a < 360^\circ$  

Угол находится либо в 3 четверти, где tg2a>0 , либо в 4 четверти, где tga<0 . Знак выбрать не представляется возможным . Придётся учитывать знак  sina  и  cosa .  

$\bf \displaystyle 90^\circ < a < 180^\circ\ \ \Rightarrow \ \ \ cosa < 0\ ,\ sina > 0\\\\cosa=-\sqrt{1-sin^2a}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5} \\\\tg2a=\frac{sin2a}{cos2a}=\frac{2sina\cdot cosa}{cos2a}=\frac{2\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \Big(-\dfrac{4}{5}\Big)}{\dfrac{7}{25}}=-\frac{2\cdot 3\cdot 4}{7}=-\frac{24}{7}$