Question

3 ЗАДАНИЯ НА ФОТО 45 БАЛЛОВ СРОЧНО

Answer 1

5.

У геометричній прогресії кожний наступний член дорівнює попередньому помноженому на число q (знаменник прогресії). Тобто, якщо перший член прогресії дорівнює x, то шостий член буде дорівнювати x * q^5.

За умовою задачі, x^6 = 16 та q = 2. Можна розв'язати це рівняння, щоб знайти значення x:

x^6 = 16

x = (16)^(1/6)

x = 2

Тепер можемо знайти перший член прогресії:

Перший член прогресії x = 2.

Перевіримо, чи правильно знайдений перший член прогресії:

x * q^5 = 2 * 2^5 = 2 * 32 = 64

Таким чином, шостий член прогресії буде дорівнювати 64.

6.

Для знаходження знаменника геометричної прогресії можна використати відомості про властивості степенів чисел. А саме:

b⁵ / b³ = (b³ * b²) / b³ = b² = (b * q)²

Отже, знаходимо знаменник прогресії:

q = sqrt(b² / b) = sqrt(b) = sqrt(b³ / b) = sqrt(18 / b) = sqrt(2 * 3² / b) = 3 / sqrt(b)

Тепер знайдемо b - перший член геометричної прогресії:

b³ = 18 => b = ∛(18) = 2∛2

Тепер можна обчислити знаменник геометричної прогресії:

q = 3 / sqrt(b) = 3 / sqrt(2∛2) = 3∛2 / 2

Таким чином, знаменник геометричної прогресії дорівнює 3∛2 / 2.

Для знаходження суми п'яти перших членів геометричної прогресії можна скористатися формулою:

S₅ = b + bq + bq² + bq³ + bq⁴

Підставляємо знайдені значення b та q:

S₅ = 2∛2 + (2∛2)(3∛2/2) + (2∛2)(3∛2/2)² + (2∛2)(3∛2/2)³ + (2∛2)(3∛2/2)⁴

Зводимо до спільного множника 2∛2 та скорочуємо:

S₅ = 2∛2 * (1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴) = 2∛2 * (1 + 3 + 9 + 27 + 81) = 2∛2 * 121 = 242∛2

Отже, сума перших п'яти членів геометричної прогресії дорівнює 242∛2.

7. За умовою задачі, маємо геометричну прогресію з першим членом x = 3 та знаменником q = 0,5. Також, відомо, що сума перших n членів цієї прогресії дорівнює Sn = 93.

Використовуючи формулу для суми геометричної прогресії, маємо:

Sn = x * (1 - qⁿ) / (1 - q)

Підставляємо відомі значення:

93 = 3 * (1 - 0.5ⁿ) / (1 - 0.5)

Розв'язуємо це рівняння:

93 = 6 * (1 - 0.5ⁿ)

1 - 0.5ⁿ = 93 / 6 = 15.5

0.5ⁿ = -14.5

Оскільки q = 0,5, то 0 < q < 1, що означає, що кожний член прогресії за модулем не зростає, а скоріше зменшується. Тому не існує такого натурального числа n, при якому qⁿ буде менше за 0.