Question

Складіть рівняння кола, описаного навколо трикутника,
сторони якого лежать на прямих 2х-у+2=0, х-3у-14=0,
х+у-2=0.

Answer 1

Спочатку знайдемо координати вершин трикутника.

Для цього розв'яжемо систему рівнянь прямих:

2х - у + 2 = 0,
х - 3у - 14 = 0,
х + у - 2 = 0.

Отримаємо:

х = 2 - у,
y = (x - 14)/3,
y = -x + 2.

Підставляючи перші два рівняння в третє, отримаємо:

2 - у + (x - 14)/3 = 2,

або

y = (x - 14)/3.

Отже, точки перетину прямих - це вершини трикутника. Обчислимо їх координати:

x - 3y - 14 = 0,
2x - y + 2 = 0,

розв'язуючи систему, отримаємо:

x = -40/7, y = -14/7;

x = 4, y = 10;

x = 2, y = 0.

Тепер складаємо рівняння кола, описаного навколо цього трикутника. Знаходимо середини сторін трикутника:

((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) = (-68/21, -2/7);
((x2 + x3)/2, (y2 + y3)/2) = (3, 5);
((x1 + x3)/2, (y1 + y3)/2) = (17/2, -7/2).

Точки середин сторін мають координати (-68/21, -2/7), (3, 5) і (17/2, -7/2). Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює відстані від центра до будь-якої вершини. Знаходимо відстані до трьох вершин:

r1 = sqrt((-68/21 - (-40/7))^2 + (-2/7 - (-14/7))^2) = 30/7,
r2 = sqrt((3 - 4)^2 + (5 - 10)^2) = sqrt(29),
r3 = sqrt((17/2 - 2)^2 + (-7/2 - 0)^2) = 9/2.

Тоді загальне рівняння кола, описаного навколо цього трикутника, має вигляд:

(x + 68/21)^2 + (y + 2/7)^2 = (30/7)^2 = 900/49.

Або

(x + 68/21)^2 + (y + 2/7)^2 = 29.

Або

(x + 17/21)^2 + (y + 7/21)^2 = (9/2)^2