Question

Знайдіть усі натуральні значення n, при яких виконується рівність 9^n-2*3^n-3=0

допоможіть апролддзщшгнеаквапролджло

Answer 1

Відповідь:

Маємо: $9^n-2*3^n-3=(3^{2}) ^{n} - 2 * 3^n - 3 = 3^{2n} - 2 * 3^n - 3 = (3^n - 1)^2 - 4 = (3^n - 1)^2 - 2^2 = (3^n - 1 - 2)(3^n - 1 + 2)= (3^n - 3) (3^n + 1).$

Далі, знайдемо n, знаючи що $9^n-2*3^n-3=0$:

$(3^n - 3)= 0$ або $(3^n + 1) = 0$

$3^n = 3$ або $3^n = -1$

n = 1

Відповідь: при n = 1.

Answer 2

Розв'язання:

9ⁿ-2·3ⁿ-3 = 0

Для зручності замінимо 3ⁿ додаткову змінну x:

(3ⁿ)²-2·3ⁿ-3 = 0

x²-2x-3 = 0, де x = 3ⁿ

Розв'яжемо дане квадратне рівняння:

За теоремою Вієта:

(a = 1; b = -2; c = -3)

Об'єднання:

x₁+x₂ = -b

x₁·x₂ = c

x₁+x₂ = 2

x₁·x₂ = -3

Отже, x₁ = 3, x₂ = -1

Тому ми маємо два значення x, які відповідають натуральним значенням n:

1) x₁ = 3

3ⁿ = 3

n = 1.

2) x₂ = -1

3ⁿ = -1 (Не має розв'язків у множині натуральних чисел)

Отже, єдиним натуральним розв'язком рівняння є

n = 1.

Відповідь: 1.