Знайти точки перетину гіперболоїда
x^2/36+y^2/4-z^2/16=1 з
прямою x/6=(y-2)/-1=z/2
Ответы
Підставимо вираз для x, y і z з параметричного рівняння прямої рівняння гіперболоїда:
[(x/6)^2 - 1] + [y^2/4 - 4] + [(z/2)^2 - 1] = 0
Перейдемо до однієї змінної, виразивши y:
(y^2/4) - 4 = - [(x/6)^2 - 1] - [(z/2)^2 - 1]
y^2 = 16 - 4[(x/6)^2 - 1] - 4[(z/2)^2 - 1]
y^2 = 24 - (2/3)x^2 - 2z^2
Таким чином, ми отримали рівняння еліпса у перерізі гіперболоїду площиною, що містить пряму. Тепер ми можемо знайти точки перетину еліпса та прямої, підставивши вирази для x, y та z з параметричного рівняння прямої до рівняння еліпса:
(x/6)^2 + [(-2/3)x + 2]^2/24 + (z/2)^2/3 = 1
Підставимо x = 6t, z = 2t:
t^2 + (2 - 4t)^2/24 + t^2/3 = 1
5t^2/12 - (2 - 4t)^2/24 = 1/3
Вирішивши це рівняння, знайдемо значення параметра t і, відповідно, точки перетину еліпса та прямої. Отримаємо дві точки:
t1 ≈ 0.114, t2 ≈ 2.536
Тоді координати точок перетину:
(x1, y1, z1) ≈ (0.684, 1.714, 0.228)
(x2, y2, z2) ≈ (15.216, -5.714, 5.464)
Відповідь: (0.684, 1.714, 0.228) та (15.216, -5.714, 5.464) - точки перетину гіперболоїду та прямої.