Question

Решить с помощью sinx+cosx=t

Answer 1

Ответ:

Решаем уравнение   $\bf 1+sin2x=cosx+sinx$   с помощью замены  

$\bf t=sinx+cosx\ .$  

Выразим  sin2x через   t  .

$\bf t^2=(sinx+cosx)^2=\underbrace{\bf sin^2x+cos^2x}_{1}+\underbrace{\bf 2sinx\cdot cosx}_{sin2x}=1+sin2x$  

Уравнение примет вид:   $\bf t^2=t\ \ \Rightarrow \ \ \ t^2-t=0\ \ ,\ \ t\, (t-1)=0$  .

$\bf a)\ \ t_1=0\ \ ,\ \ sinx+cosx=0\ \Big|:cosx\ne 0\ \ ,\\\\tgx+1=0\ \ ,\ \ tgx=-1\ \ ,\ \ x_1=-\dfrac{\pi }{4}+\pi k\ ,\ k\in Z\\\\b)\ \ t=1\ \ ,\ \ sinx+cosx=1\ \Big|:\sqrt2\ ,\\\\\dfrac{1}{\sqrt2}\, sinx+\dfrac{1}{\sqrt2}\, cosx=\dfrac{1}{\sqrt2}\\\\sin\dfrac{\pi }{4}\cdot sinx+cos\dfrac{\pi }{4}\cdot cosx=\dfrac{\sqrt2}{2}\ \ ,\\\\cos\Big(x-\dfrac{\pi}{4}\Big)=\dfrac{\sqrt2}{2}\\\\x-\dfrac{\pi}{4}=\pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi n\ \ ,\ n\in Z$  

$\bf x=\dfrac{\pi }{4}\pm \dfrac{\pi }{4}+2\pi n\ \ ,\ n\in Z$  

или можно записать так :

$\bf x_2=\dfrac{\pi }{2}+2\pi n\ \ \ ,\ \ \ x_3=2\pi n\ \ ,\ n\in Z$  

Ответ:   $\bf x_1=-\dfrac{\pi }{4}+\pi k\ ,\ x_2=\dfrac{\pi }{2}+2\pi n\ \ \ ,\ \ \ x_3=2\pi n\ \ ,\ k,n\in Z$   .