радіуси основ зріаного конуса дорівнюють 2 см 18 см, а периметр осьового перерізу - 44 Знайдіть кут нахилу твірної до площини нижньої основи
Ответы
Необхідно знайти довжину твірної та радіус нижньої основи конуса.
Оскільки периметр осьового перерізу конуса дорівнює 44 см, то довжина окружності нижньої основи буде:
2πr = 44,
де r - радіус нижньої основи.
Отже, r = 22/π ≈ 7.0 см.
Так як у конуса різні радіуси основ, то ми не можемо скористатися формулою твірної виразивши її через радіуси основ. Але можемо скористатися теоремою Піфагора та визначити довжину твірної за допомогою півкруга:
l² = r₁² + r₂²,
де r₁ та r₂ - радіуси основ, l - довжина твірної.
Підставляємо відповідні значення та отримуємо:
l² = 2² + 18² = 324,
l = √324 = 18 см.
Для знаходження кута нахилу твірної до площини нижньої основи можна скористатися теоремою про відношення висоти трикутника до його бічного ребра:
tg α = l / (r₂ - r₁),
де α - кут нахилу твірної до площини нижньої основи.
Підставляємо відповідні значення та отримуємо:
tg α = 18 / (18 - 2) ≈ 1.06,
α ≈ 46.9° (заокругливши до десятих).
Отже, кут нахилу твірної до площини нижньої основи дорівнює приблизно 46.9°.
Для вирішення цієї задачі нам необхідно знайти радіус верхньої основи конуса, використовуючи периметр осьового перерізу, а потім використати теорему Піфагора, щоб знайти довжину твірної.
Загальна ідея полягає в тому, що осьовий переріз конуса - це коло, тому периметр осьового перерізу можна знайти за формулою:
P = 2πr,
де P - периметр, r - радіус верхньої основи.
Отже, маємо:
2πr = 44
r = 22/π
Тепер, щоб знайти кут нахилу твірної до площини нижньої основи, нам потрібно знайти довжину твірної. Для цього використаємо теорему Піфагора, яка говорить, що для прямокутного трикутника з катетами a і b і гіпотенузою c виконується рівняння:
c² = a² + b²
В нашому випадку, гіпотенузою є довжина твірної, а катетами є радіус нижньої основи (r₁) і радіус верхньої основи (r₂).
Знаходимо довжину твірної:
c² = (2 см)² + (22/π - 18 см)²
c² = 4 см² + (484/π - 324 см² - 792/π + 324 см²)
c² = (484/π - 788/π) см² + 4 см²
c² = (196/π) см²
c = √(196/π) см
c ≈ 7.91 см
Тепер можемо знайти кут нахилу твірної до площини нижньої основи за формулою:
tan α = r₁ / c
де α - кут нахилу твірної до площини нижньої основи, r₁ - радіус нижньої основи.
Підставляємо значення і отримуємо:
tan α = 2 см / 7.91 см
α ≈ 15.17°
Відповідь: кут нахилу твірної до площини нижньої основи становить приблизно 15.17°.