При каком наименьшем значении а выполняется равенство sin4x=a-8 ?
Ответы
Для решения данной задачи мы можем использовать следующие шаги:
Приведём тригонометрическое выражение sin 4x к более удобному виду, используя формулу двойного угла: sin 4x = 2 sin 2x cos 2x.
Заменим sin 4x на полученное выражение: 2 sin 2x cos 2x = a - 8.
Применим формулу двойного угла еще раз: sin 2x = 2 sin x cos x.
Заменим sin 2x и cos 2x на полученные выражения: 2(2 sin x cos x)(1 - 2 sin^2x) = a - 8.
Приведём подобные слагаемые и перенесём все элементы в одну часть уравнения: 4 sin x cos x - 8 sin^3x cos x - a + 8 = 0.
Вынесем общий множитель 4: 4(sin x cos x - 2 sin^3x cos x) - a + 8 = 0.
Заменим sin x cos x на 1/2(sin 2x): 2(sin 2x - 2 sin^3x cos x) - a + 8 = 0.
Преобразуем sin 2x в тригонометрическое выражение: 2(sin x cos x + cos x sin x - 2 sin^3x cos x) - a + 8 = 0.
Приведём подобные слагаемые: 2(cos x sin x - 2 sin^3x cos x) - a + 8 = 0.
Вынесем общий множитель sin x: 2sin x(cos x - 2 sin^2x) - a + 8 = 0.
Заменим cos x на 1 - sin^2x: 2sin x(1 - sin^2x - 2 sin^2x) - a + 8 = 0.
Упростим выражение и приведём подобные слагаемые: -6sin^3x - a + 8 = 0.
Решим полученное уравнение относительно sin x: sin x = кубический корень из (a - 8) / 6.
Найдём минимальное значение а, при котором sin x существует и лежит в диапазоне [-1, 1]. Минимальное значение a равно 8 * 6 = 48.
Таким образом, при a = 48 равенство sin 4x = a - 8 имеет решение, а при меньших значениях a решение не существует.