Question

допоможіть будь ласка 1) cos(2x+п/4)≤√2/2
2)ctg(п/3-х/2)>√3

Answer 1

Объяснение:

1.Найдём значения x, удовлетворяющие неравенству:

cos(2x+π/4) ≤ √2/2

Учитывая, что cos(π/4) = √2/2, можем переписать неравенство в виде:

cos(2x+π/4) ≤ cos(π/4)

Следовательно,

2x+π/4 ∈ [2kπ-π/4, 2kπ+π/4] для любого целого k.

Решая неравенство, получим:

2kπ - π/4 ≤ 2x + π/4 ≤ 2kπ + π/4

2kπ - π/2 ≤ 2x ≤ 2kπ

kπ - π/4 ≤ x ≤ kπ/2

Ответ: x ∈ [kπ - π/4, kπ/2] для любого целого k.

2.Найдём значения x, удовлетворяющие неравенству:

ctg(π/3 - x/2) > √3

Перепишем ctg в терминах tg:

ctg(π/3 - x/2) = 1/tg(π/3 - x/2) = 1/(√3/tan(x/2) - 1/tan(x/2))

Учитывая, что tg(π/3) = √3, можем переписать неравенство в виде:

1/(√3/tan(x/2) - 1/tan(x/2)) > √3

Разделим обе части неравенства на √3:

1/(tan(x/2)/√3 - cot(x/2)) > 1

Перепишем в терминах tg:

1/(tg(x/2) - ctg(x/2)√3) > 1

Вынесем знаменатель за скобку и упростим:

tg(x/2) - ctg(x/2)√3 < -1

Подставляем tg = sin/cos, ctg = cos/sin и приводим подобные:

(sin(x) - √3 cos(x))/sin(x) < -2

sin(x) - √3 cos(x) > 2 sin(x)

sin(x) + 2 cos(x) < 0

Решим уравнение:

tg(x) < -2

x ∈ (π/2 + kπ - arctg(2), π + kπ - arctg(2)), где k - любое целое число.

Ответ: x ∈ (π/2 + kπ - arctg(2), π + kπ - arctg(2)) для любого целого k.