1. Відрізок BD - бісектриса трикутника ABC. Знайдіть AB, DC = 2 см. якщо ВС = 8 AD = 3 см, 2. Знайти довжину гіпотенузи, якщо катети відносяться як 2:3 і проекція одного катета на гіпотенузу на 2 см більша за проєкцію другого. см, 3. Знайти сторону ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 6 см і 8 см. 4. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см та 14 см, а її бічна сторона 5 см. Знайдіть висоту трапеції. 5. Бічна сторона рівнобедреного трикутника відноситься до основи як 5 : 6, а висота, проведена до основи, дорівнює 12 см. Знайти основу й бічну сторону трикутника. 6. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см і 18 см, а ви- сота 16 см. Знайти діагональ трапеції. 7. У трикутнику MNP проведена бісектриса MQ. Знайдіть сторону NP, якщо NM:MP =2:7 i QP-QN = 100см
Ответы
Ответ:
За теоремою бісектрис, BD ділить сторону AC на відрізки, пропорційні іншим двом сторонам трикутника: AB/BC = AD/DC. Замінюючи відомі значення, отримуємо AB/BC = 3/2. Також з відомого значення DC = 2 см можна знайти BC як різницю сторін трикутника: BC = AC - AB = DC * (BC/DC) - AB = 2 * (3/2) - AB = 3 - AB. Тепер можна записати співвідношення між AB і BC: AB/BC = 3/2 = AB/(3 - AB). Розв'язавши це рівняння, отримуємо AB = 9/5 см та BC = 6/5 см.
Нехай катети трикутника ABC дорівнюють 2x та 3x, а проекції на гіпотенузу - y та y + 2. За теоремою Піфагора, використовуючи відомі співвідношення між сторонами, можна записати рівняння: (2x)^2 + (3x)^2 = (y + y + 2)^2. Розв'язавши його, отримуємо x = 2 см. Згідно з цим, катети дорівнюють 4 см та 6 см, а гіпотенуза - 2y + 2 см. Також відомо, що y + 2 = (4/6)y, тобто y = 6 см. Тоді гіпотенуза дорівнює 2y - 2 = 10 см.
Діагоналі ромба перетинаються в прямому куті, розділяючи його на 4 прямокутних трикутники. За теоремою Піфагора, можна записати: (d1/2)^2 + (d2/2)^2 = a^2, де d1 та d2 - діагоналі ромба, а - його сторона. Підставляючи відомі значення, отримуємо (3^2 + 4^2)/4 = a^2, звідки a = 5 см.
Висота трапеції - це відрізок, який сполучає протилежні вершини паралелограмів, утворених