Question

(4cos^2 a)/(clg * a/2 - tg a/2) = sin 2a

Answer 1

Ответ:  Доказано.

Пошаговое объяснение:

Докажите тождество :

$\displaystyle \frac{4\cos ^2 a }{\mathrm{ctg}\frac{a}{2} - \mathrm {tg }\frac{a}{2} }=\sin 2a$

Воспользуемся тем , что :

$\mathrm {ctg }\frac{a}{2} = \dfrac{\cos \frac{a}{2} }{\sin \frac{a}{2} } \\\\\\ \mathrm {tg }\frac{a}{2} = \dfrac{ \sin \frac{a}{2} }{ \cos \frac{a}{2}}$

Таким образом :

$\displaystyle \frac{4\cos ^2 a }{ \dfrac{\cos \frac{a}{2} }{\sin \frac{a}{2} } - \dfrac{ \sin \frac{a}{2} }{ \cos \frac{a}{2}} }=\sin 2a \\\\\\ \frac{4\cos ^2a}{\dfrac{\cos ^2 \frac{a}{2}- \sin ^2\frac{a}{2}}{\frac{1}{2} \cdot 2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2} } } = \sin 2a$

Воспользуемся формулами двойного угла :

$\cos 2a = \cos ^2a- \sin ^2a \Rightarrow \cos a= \cos ^2\frac{a}{2} - \sin ^2 \frac{a}{2} \\\\ \sin 2a = 2\sin a \cos a \Rightarrow \sin a= 2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}$

И мы получим :

$\displaystyle \frac{4\cos ^{\diagup \!\!\!\!2}a}{\dfrac{\LARGE \diagup \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\cos a}{\frac{1}{2} \cdot \sin a } } = \sin 2a \\\\\\\ \frac{1}{2} \cdot 4 \cos a \cdot \sin a = \sin 2a \\\\ 2 \sin a \cos a = \sin 2a \\\\\ \sin 2a = \sin 2a ~\checkmark$

Тождество доказано.

#SPJ1