Question

3. [46] Разложите выражение на множители. 27 1) z7x3 + 3 -у 2) 2x6 – 16y³ 27 64 50³-216 4 [36] Вычислите используя ФСУ. - 300.​

Answer 1

3. Разложить выражение на множители:

1) $\frac{1}{27} {x}^{3} + \frac{27}{64} {y}^{3}$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения — формулой суммы кубов:

${a}^{3} + {b}^{3} = (a + b)( {a}^{2} - ab + {b}^{2} )$

Итак,

$\frac{1}{27} {x}^{3} + \frac{27}{64} {y}^{3} = {( \frac{1}{3} )}^{3} \times {x}^{3} + {( \frac{3}{4} )}^{3} \times {y}^{3} = {( \frac{1}{3} x)}^{3} + {( \frac{3}{4} y)}^{3} = ( \frac{1}{3} x + \frac{3}{4} y)( {( \frac{1}{3}x )}^{2} - \frac{1}{3} x \times \frac{3}{4} y + {( \frac{3}{4} y)}^{2} ) = ( \frac{1}{3} x + \frac{3}{4} y) \times ( \frac{1}{9} {x}^{2} - \frac{1}{4} xy + \frac{9}{16} {y}^{2} )$

2) $2 {x}^{6} - 16 {y}^{3}$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения — формулой разности кубов:

${a}^{3} - {b}^{3} = (a - b)( {a}^{2} + ab + {b}^{2} )$

Итак,

$2 {x}^{6} - 16 {y}^{3} = 2 \times ( {x}^{6} - 8 {y}^{3} ) = 2 \times ( {( {x}^{2} )}^{3} - {(2y)}^{3} ) = 2 \times ( {x}^{2} - 2y)( {( {x}^{2} )}^{2} + {x}^{2} \times 2y + {(2y)}^{2} ) = 2 \times ( {x}^{2} - 2y) \times ( {x}^{4} + 2 {x}^{2} y + 4 {y}^{2} )$

4. Вычислить, используя формулы сокращенного умножения:

$\frac{ {50}^{3} - 216}{44} - 300$

В числителе используем формулу сокращенного умножения — формулу разности кубов:

$\frac{ {50}^{3} - 216 }{44} - 300 = \frac{ {50}^{3} - {6}^{3} }{44} - 300 = \frac{(50 - 6)( {50}^{2} + 50 \times 6 + {6}^{2} )}{44} - 300 = \frac{44 \times (2500 + 300 + 36)}{44} - 300 =$

Сокращаем 44 в числителе и знаменателе:

$= (2500 + 300 + 36) - 300 = 2500 + 300 + 36 - 300 = 2500 + 36 = 2536$

5. Решить уравнение:

${(3x - 1)}^{2} - 8 {(x + 1)}^{2} = (x + 2)(x - 2)$

Перенесём всё в левую часть:

${(3x - 1)}^{2} - 8 {(x + 1)}^{2} - (x + 2)(x - 2) = 0$

Тут используем формулы сокращенного умножения. Сначала формула квадрата разности:

${(a - b)}^{2} = {a}^{2} - 2ab + {b}^{2}$

Потом формула квадрата суммы:

${(a + b)}^{2} = {a}^{2} + 2ab + {b}^{2}$

Потом формула разности квадратов:

${a}^{2} - {b}^{2} = (a - b)(a + b)$

Итак,

${(3x - 1)}^{2} - 8 {(x + 1)}^{2} - (x + 2)(x - 2) = 0$

$(9 {x}^{2} - 6x + 1) - 8( {x}^{2} + 2x + 1) - ( {x}^{2} - {2}^{2} ) = 0$

$9 {x}^{2} - 6x + 1 - 8 {x}^{2} - 16x - 8 - {x}^{2} + 4 = 0$

Группируем:

$(9 {x}^{2} - 8 {x}^{2} - {x}^{2} ) + ( - 6x - 16x) + (1 - 8 + 4) = 0$

$0 {x}^{2} + ( - 22x) + ( - 3) = 0$

$- 22x - 3 = 0$

$- 22x = 3$

$x = 3 \div ( - 22)$

$x = - \frac{3}{22}$

Ответ: $x = - \frac{3}{22}$