Дослідіть функцію на точки перегину за допомогою другої похідної: y=x⁴-8x³-30x²+x-11
полностью все расписать
Ответы
Почнемо зі знаходження першої та другої похідної функції:
y = x⁴ - 8x³ - 30x² + x - 11
y' = 4x³ - 24x² - 60x + 1
y'' = 12x² - 48x - 60
Точки перегину знаходяться тоді, коли друга похідна дорівнює нулю. Розв'язуємо рівняння:
12x² - 48x - 60 = 0
x² - 4x - 5 = 0
(x - 5)(x + 1) = 0
Отже, маємо дві точки перегину: x = 5 та x = -1.
Для того, щоб з'ясувати, чи є ці точки мінімумами або максимумами, необхідно проаналізувати знак другої похідної на інтервалах між точками перегину.
Якщо друга похідна більше нуля на інтервалі між точками перегину, то ці точки є точками мінімуму. Якщо друга похідна менше нуля, то ці точки є точками максимуму.
Знак другої похідної можна визначити, обравши будь-яку точку на інтервалі між точками перегину і підставивши її значення в другу похідну.
Давайте оберемо точку 0 на інтервалі між x = -1 та x = 5:
y''(0) = 12(0)² - 48(0) - 60 = -60
Отже, друга похідна менше нуля на цьому інтервалі, і тому точки перегину x = -1 та x = 5 є точками максимуму.
Отже, маємо:
Точки перегину: x = -1, x = 5
Точки максимуму: x = -1, x = 5