Висота прямокутного трикутника, проведена до
гіпотенузи, ділить гіпотенузу на відрізки 9 см і 7 см.
Знайдіть більший катет трикутника та його висоту.
СРОЧНО!!!!!!
Ответы
Відповідь:
sqrt - це корінь
Позначимо більший катет трикутника як a, менший катет як b, а висоту, проведену до гіпотенузи як h. За теоремою Піфагора, маємо:
a^2 + b^2 = h^2 --- (1)
З іншого боку, за подібністю прямокутних трикутників, отримуємо такі співвідношення між сторонами:
a/h = h/b
або
a/b = h/h-b
або
a/b = 9/7 --- (2)
Можна розв'язати систему рівнянь (1) і (2), щоб знайти значення a і h, але можна скористатися також наступним трюком: помітимо, що якщо ми помножимо обидві сторони останнього співвідношення на b, то отримаємо a = (9/7) * b. Підставимо це значення a у (1) і отримаємо:
((9/7) * b)^2 + b^2 = h^2
Розкриємо дужки та спростимо:
81/49 * b^2 + b^2 = h^2
(130/49) * b^2 = h^2
Отже, h = sqrt((130/49) * b^2) = (b * sqrt(130))/7.
Ми також знаємо, що a/b = 9/7, отже, можемо підставити a = (9/7) * b у (1) і отримаємо:
(81/49) * b^2 + b^2 = h^2
(130/49) * b^2 = h^2
Ми отримали значення висоти h та більшого катету a через менший катет b. Тож, якщо відомо, що відрізки, на які ділить гіпотенузу висота, мають довжини 9 см і 7 см, то можемо записати:
a/b = 9/7
a + b = гіпотенуза
Оскільки a/b = 9/7, то a = (9/7)*b, а отже, можемо записати:
(9/7)b + b = гіпотенуза
16/7b = гіпотенуза
Отже, гіпотенуза трикутника має довжину (16/7) * b, а висота, проведена до гіпотенузи, має довжину (b * sqrt(130))/7, як ми вже визначили раніше.
Тепер можемо виразити b через гіпотенузу і підставити в формулу для висоти, щоб отримати її значення:
b = (7/16) * гіпотенуза
h = (b * sqrt(130))/7 = ((7/16) * гіпотенуза * sqrt(130))/7 = (sqrt(130)/16) * гіпотенуза
Отже, ми отримали формули для більшого катету трикутника та його висоти, які виражаються через довжину гіпотенузи. Якщо відома довжина гіпотенузи, то можна підставити її в ці формули, щоб отримати значення більшого катету та висоти.
Пояснення: