ДАМ 100 БАЛЛОВ
В остроугольном треугольнике ABC, AB=2√3, AC=2, LACB=30°. НАЙДИТЕ градусную меру угла АВС.
Ответы
Ответ:
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
1. Пусть АМ =х, тогда СМ= 3 - х.
(3-x):x=3:2
6 -2x=3x
5x=6
x = 1,2
AM = 1,2 см, СМ = 1,8 см
2. Tak kak MN < NK, TO MP < PK. Пусть МР = x, тогда РК = x + 0,5
4 : x = 5 : (x + 0,5)
5x = 4x + 2
x = 2
MP =2 см, РК = 2,5 см
3. DE + EP = Pdep - DP = 21 - 7 = 14 см 7x=42
Пусть DE=x, тогда ЕР = 14 - x x : 3 = (14 - x) : 4
4x=42-3x
x=6
DE = 6 см, EP = 8 см
4. Пусть АВ =х, тогда ВС = x + 3.
x : 2 = (x + 3): 3
3x=2x+6
4. Пусть АВ = x, тогда ВС = x + 3.
x: 2 = (x + 3): 3
3x = 2x + 6
x=6
AB = 6 см, ВС = 9 см
6. В условии опечатка: надо найти длины сторон CD и DE.
DF - Диагональ ромба, а диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, значит DF - биссектриса треугольника.
CD + DE = Pcde-CE=55- 20 = 35 см
Пусть CD = x, тогда DE = 35-х
x: 8 = (35-x) : 12 12x = 280 - 8x
20x = 280
x=14
CD = 14 см, DE = 21 см
7. ДАВС, <С=90°, АМ- биссектриса.
Пусть АС = x, тогда по теореме
Пифагора АВ = v(x2 + 81).
x : 4 = √(x2 + 81) : 5
5х = 4√(x2 + 81) 25x2=16x2 + 81 · 16
9x2=81-16
x2 = 9 . 16
x=34=12
AC = 12 CM
Sabc = AC - СВ/2 = 12 - 9 = 54 см2
8. Так как точка О равноудалена от катетов, СО - диагональ квадрата, а диагонали квадрата лежат на биссектрисах его углов. Значит СО -
биссектриса треугольника.
a:40=b:30
b=30a/40 = 3а/4
По теореме Пифагора:
702 = a2 + 9a²/16
25a2/16 4900
a² = 4900 16/25=196 16 a=14-4=56
CB = 56 CM
AC=356/ 4 = 3 - 14 = 42 см
Sabc = CB - AC/2=56-42/2 = 1176 см²
9. ДАВС: <B= 60°, <C = 40°, → <A = 80°.
о - точка пересечения биссектрис. <OAC + <OCA = (<A + <C)/2 = (80° + 40°)/ 2 = 60°
Из ДОАС <AOC = 180° - (ZOAC + <OCA)
= 180° - 60° = 120°
10. ДАВС с прямым углом С, СМ - биссектриса.
AC = AB/2 = 2см как катет, лежащий
напротив угла в 30 deg
По теореме Пифагора
BC = gamma(A * B ^ 2 - A * C ^ 2) = gamma(16 - 4) = gamma * 12 = 2sqrt(3)
CM
Пусть AM = x , тогда MB = 4 - x
x:2= (4 - x) :(2 sqrt )
2sqrt(3) * x = 8 - 2x
2x(sqrt(3) + 1) = 8 x=4/(√3+1)=4(√3-1)/ (3-1)=2(√3-1)
M=2( sqrt(3) -1)c| MB = 4 - (2sqrt(3) - 2) = 6 - 2sqrt(3) = 2sqrt(3) * (sqrt(3) - 1)
CM
11. AABC: angle C = 90 deg , angle A = 60 deg , → angle B = 30 deg
тогда
AB = 2AC = 2sqrt(3) см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30 deg
По теореме Пифагора:
BC = v(A * B ^ 2 - A * C ^ 2) = v(12 - 3) = v * 9 = 3cs
СМ - биссектриса.
Пусть AM = x , MB = 2sqrt(3) - x
x / (sqrt(3)) = (2sqrt(3) - x) / 3
3x = 6 - sqrt(3) * x
x(3 + sqrt(3)) = 6
x=6/(3+ √3)=6(3√3)/(9-3)=3-√3 = sqrt(3) * (sqrt(3) - 1)
AM = sqrt 3( sqrt 3 -1) CM
MB = 2sqrt(3) - 3 + sqrt(3) = 3sqrt(3) - 3 = 3(sqrt(3) - 1)
CM