Question

3. Основания равны 5 см и 13 см, а диагонали заострены. Найдите площадь равнобедренной трапеции, углы которой являются биссектрисами. ​

Answer 1

Ответ:

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, необходимо знать длины ее оснований и высоту. При этом, по условию, трапеция равнобедренная, то есть боковые стороны равны, и диагонали заострены, что означает, что углы при основаниях трапеции являются биссектрисами.

Пусть диагонали трапеции равны d1 и d2, а высота равна h. Тогда известно, что:

d1 = 2h / cos α, где α - угол между боковой стороной трапеции и диагональю d1.

d2 = 2h / cos β, где β - угол между боковой стороной трапеции и диагональю d2.

Так как углы при основаниях являются биссектрисами, то α = β, и можно записать:

d1 = 2h / cos α

d2 = 2h / cos α

Также из условия известны длины оснований трапеции:

a = 5 см

b = 13 см

Для нахождения высоты h разобьем трапецию на два прямоугольных треугольника, проведя высоту из вершины трапеции к основанию b. Тогда получим:

h^2 + (b/2)^2 = d2^2

h^2 + (a/2)^2 = d1^2

Выразим h из первого уравнения:

h = √(d2^2 - (b/2)^2)

Подставим выражение для h во второе уравнение:

h^2 + (a/2)^2 = d1^2

(d2^2 - (b/2)^2) + (a/2)^2 = d1^2

(d2^2 - (b/2)^2) + (a/2)^2 = (d2^2 / cos^2 α)

Выразим cos α из последнего уравнения:

cos α = d2 / √(d2^2 + 4(a/2)^2 - b^2)

Теперь можем найти высоту h и площадь трапеции:

h = √(d2^2 - (b/2)^2)

S = ((a + b) * h) / 2

Подставим значения и рассчитаем:

cos α = d2 / √(d2^2 + 4(a/2)^2 - b^2) = 0.6

h = √(d2^2 - (b/2)^2) = 6.0 см

S = ((a + b) * h) / 2 = (5 + 13) * 6 / 2 = 54 с