7. Знайдіть дві сторони трикутника, якщо їхня рiзниця дорівнює 28 см, а бісектриса кута між ними ділить третю сторону на від- рiзки 43 см і 29 см.
Ответы
Ответ:
Позначимо сторони трикутника як a, b і c. За умовою задачі, ми знаємо, що різниця між сторонами a і b дорівнює 28 см:
a - b = 28
Також ми знаємо, що бісектриса кута між сторонами a і b ділить третю сторону c на відрізки 43 см і 29 см. Згідно з формулою для бісектриси, ми можемо записати:
c / a = c / b
Звідси ми можемо вивести, що:
a / b = (c + 43) / (c + 29)
Ми можемо використати першу рівність, щоб виразити одну змінну через іншу. Наприклад, можемо виразити b через a:
b = a - 28
Підставимо це значення у друге рівняння:
a / (a - 28) = (c + 43) / (c + 29)
Розкриваємо дужки і переносимо все до лівої частини рівності:
a(c + 29) - (a - 28)(c + 43) = 0
ac + 29a - ac - 43a + 29c + 4328 - 2843 = 0
6a - 14c = -28*43
3a - 7c = -43*28
Таким чином, ми отримали одне рівняння з двома змінними a і c. Щоб знайти їхні значення, нам потрібно ще одне рівняння. Можемо використати формулу для площі трикутника:
S = (1/2) * a * b * sin(C)
де C - кут між сторонами a і b, а sin(C) можна знайти за допомогою формули синусів:
sin(C) = c / (2R)
де R - радіус описаного кола трикутника.
Отже, ми можемо записати:
S = (1/2) * a * (a - 28) * (c / (2R))
S = (a^2 - 28a) * c / (4R)
Відомо також, що площа трикутника може бути знайдена за допомогою формули Герона:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))
де p - півпериметр трикутника:
p = (a + b + c) / 2