Знайдіть катет прямокутного трикутника якщо його проекція на гіпотенузу -2 см якщо гіпотенузу дорівнює 32 см.
Ответы
Ответ:
Объяснение:Позначимо катети прямокутного трикутника як a та b, а гіпотенузу як c. За теоремою Піфагора маємо:
c² = a² + b²
Також, за подібністю трикутників, відомо що:
a/c = a'/(c + 2),
де a' - проекція катета a на гіпотенузу.
Підставляємо вираз для c з першого рівняння у друге:
a/(sqrt(a² + b²)) = a'/(sqrt(a² + b²) + 2)
Отримуємо рівняння:
a' = a * (sqrt(a² + b²) + 2) / sqrt(a² + b²)
З іншого боку, за умовою задачі a' = -2 см, а c = 32 см. Підставляємо ці значення до рівняння та розв'язуємо його відносно a:
-2 = a * (sqrt(a² + b²) + 2) / sqrt(a² + b²)
-2 * sqrt(a² + b²) - 4 = a * (sqrt(a² + b²))
(a² + b²) * (4a² + 4b²) = a² * (4a² + 4b²) - 16a²
5a² * b² + 3a² * a² = 4b² * a²
a² * (4b² - 3a²) = 0
Таким чином, a може бути рівним 0 або sqrt(4/3) * b. Оскільки a не може дорівнювати 0 (бо тоді це не був би прямокутний трикутник), отримуємо:
a = sqrt(4/3) * b
Підставляємо це значення до першого рівняння та розв'язуємо відносно b:
c² = a² + b²
32² = (4/3) * b² + b²
b² = 1024 / (4/3 + 1)
b² = 256
b = 16
Отже, другий катет дорівнює 16 см.