Даны вершины треугольника АВС: A(-3;-4); B(-4;-3); C(8; 1).
Найти:
а) уравнение стороны AB;
б) уравнение высоты CH;
в) уравнение медианы AM;
г) точку N персечения медианы AM и высоты CH;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;
е) расстояние от точки C до прямой AB
Ответы
Даны вершины треугольника АВС: A(-3;-4); B(-4;-3); C(8;1).Найти:
а) уравнение стороны AB.
Находим вектор АВ.
АВ = (-4-(-3); -3-(-4)) = (-1; 1).
Уравнение АВ:
(х + 3)/(-1) = (у + 4)/1 (каноническое).
х + 3 = -у – 4.
х + у + 7 = 0 (общее).
у = -х – 7 (с угловым коэффициентом).
б) уравнение высоты CH.
Высота СН – это перпендикуляр к стороне АВ.
В общем уравнении Ах + Ву + С = 0 коэффициенты А и В для перпендикуляра меняются на В и (-А) или (-В) и А.
Получаем уравнение х - у + С = 0.
Для определения параметра С подставим вместо переменных координаты точки С(8; 1).
8 – 1 + С = 0, отсюда С = 1 – 8 = -7.
Уравнение высоты СН: х – у – 7 = 0.
в) уравнение медианы AM.
Находим координаты точки М как середины отрезка ВС.
М = ( B(-4;-3) + C(8; 1))/2 = (2; -1).
Вектор АМ = (2-(-3); -1-(-4)) = (5; 3).
Уравнение АМ: (х + 3)/5 = (у + 4)/3,
3x + 9 = 5y + 20,
3x - 5y - 11 = 0.
г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH.
Надо решить систему:
{3x - 5y - 11 = 0 3x - 5y - 11 = 0
{ х – у – 7 = 0 (x(-5)) = -5x + 5y + 35 = 0
-2x + 24 = 0
x = -24/(-2) = 12.
y = x – 7 = 12 – 7 = 5.
Точка N(12; 5).
д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB.
Для параллельной прямой коэффициенты перед переменными в уравнении сохраняются.
Уравнение х + у + С = 0.
Для определения параметра С подставим координаты точки С(8; 1).
8 + 1 + С = 0, отсюда С = -9.
Уравнение х + у - 9 = 0.
е) расстояние от точки C до прямой AB.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой в общем виде Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C|/√(A² + B²)
Подставим в формулу данные:
d = |1·8 + 1·1 + 7|/√(1² + 1²) = |8 + 1 + 7|/√(1 + 1) =
= 16/√2 = 8·√2 ≈ 11,3137085.
