ВпоселкеNпроживает 1000 чел. Их интересуют только фейерверки и водка. Они устраивают фейерверки только на Новый год. Ради запуска одного фейерверка каждому нужно пожертвовать 1 л водки. Все жители имеют абсолютно одинаковые предпочтения (одинаковые функции полезности). Функция полезности каждого жителя
U(Xi, G) = Xi + G1/2 / 24,
где Xi - количество литров водки, потребляемой за год одним жителем; G - количество запускаемых на Новый год фейерверков.
Частное использование фейерверков запрещено.
Каково парето-эффективное количество фейерверков?
Ответы
Відповідь:
Для определения парето-эффективного количества фейерверков необходимо найти такой вариант потребления, при котором невозможно улучшить положение хотя бы одного человека без ухудшения положения других.
Предположим, что общее количество потребляемой водки равно V, тогда каждый житель потребляет Xi = V / 1000 литров водки в год. Также предположим, что на Новый год будет запущено G фейерверков.
Тогда функция полезности для жителя i может быть переписана следующим образом:
- Ui(G) = V / 1000 + G1/2 / 24
Общая функция полезности для всех жителей может быть записана следующим образом:
- U(G) = 1000 * Ui(G) = V + 1000 * G1/2 / 24
Чтобы найти парето-эффективное количество фейерверков, необходимо решить задачу оптимизации, максимизируя общую функцию полезности U(G) при ограничении на количество потребляемой водки.
Ограничение на количество потребляемой водки может быть записано следующим образом:
- V = 1000 * G
Тогда задача оптимизации может быть записана следующим образом:
- max U(G) = V + 1000 * G1/2 / 24
- при ограничении V = 1000 * G
Решая данную задачу, мы можем найти оптимальное количество фейерверков G*, которое максимизирует общую функцию полезности:
- dU/dG = 1000 / 2 * G-1/2 + 1000 / 24 = 0
- G* = (12 / sqrt(2))^2 = 432
Таким образом, оптимальное количество фейерверков, которое максимизирует общую функцию полезности и не может быть улучшено без ухудшения положения хотя бы одного жителя, равно 432.