СРОЧНО:Докажите что сумма длин медиан треугольника больше его полупериметра но меньше периметра
Ответы
Рассмотрим треугольник ABC. Медиана, проходящая из вершины A, делит сторону BC пополам и пересекает противолежащую ей сторону в точке M.
Таким образом, AM является медианой треугольника ABC, и её длина равна половине длины стороны BC. Аналогично, можно определить медианы, проходящие из вершин B и C.
Полупериметр треугольника ABC равен:
s = (AB + AC + BC) / 2
Периметр треугольника ABC равен:
P = AB + AC + BC
Сумма длин медиан равна:
m = AM + BM + CM
Заметим, что в треугольнике ABC каждая медиана является меньшей, чем соответствующая сторона. Это легко увидеть, если вспомнить, что медиана делит сторону пополам.
Таким образом, можно записать следующие неравенства:
AM < BC
BM < AC
CM < AB
Сложим все три неравенства:
AM + BM + CM < AB + AC + BC = P
Таким образом, мы получили, что сумма длин медиан треугольника меньше его периметра.
Теперь докажем, что сумма длин медиан больше его полупериметра. Для этого воспользуемся теоремой о трех медианах:
m^2 = (3/4) (a^2 + b^2 + c^2)
где a, b и c - длины сторон треугольника, а m - длины медиан.
Таким образом, мы можем записать:
4m^2 = 3(a^2 + b^2 + c^2)
Так как a + b + c = 2s, то можно записать:
a^2 + b^2 + c^2 = 2s^2 - 2(ab + bc + ac)
Таким образом, мы можем переписать предыдущее равенство:
4m^2 = 3(2s^2 - 2(ab + bc + ac))
4m^2 = 6s^2 - 6(ab + bc + ac)
2m^2 + 3(ab + bc + ac) = 3s^2
2m^2 + 3P = 6s
2m^2 + 3P = 4s + 2s
2m^2 + 3P > 4s
Таким образом, мы получили, что сумма длин медиан больше его полупериметра.
Таким образом, мы доказали, что сумма длин медиан треугольника больше его полупер