Question

Доведіть, що вираз (у²+1)(у⁴-у²+1)+3 набуває додатних значень при всіх значеннях змінної у.

Answer 1

Разобьём функции на 3 отдельных.
f(y)=y⁴-y²+1
g(y)=y²+1
k(y)=3
Функция g(y) всегда положительна, так как в ней складывается неотрицательное число y² (т.к любое число в квадрате ≥ 0) и положительное число 1.
Функция k(y) положительна по определению так как всегда равна 3
Исследуем функцию g(y)=y⁴-y²+1.
Для удобства введем замену t=y²
q(t)=t²-t+1
Найдем экстремумы функции.
Для этого вычислим ее производную и прировняем к нулю.
[t²-t+1]'dt=0
2t-1=0
t=0.5
Найдем значение функции q(t) в точке 0.5
q(0.5)=0.25-0.5+1=0.75
Выходит минимальное значение этой функции положительное число, значит f(y)>0.75
Получаем, что все три функции больше нуля.
Значит и изначальная функция больше нуля.
Ч т д