17. Вертикальный шест высотой 1 м, поставленный недалеко от уличного фонаря, отбрасывает тень длиной 80 см. Если расстояние между фонарным столбом и шестом увеличить на 1,5 м, то длина тени возрастет до 1,3 м. На какой высоте находится фонарь? Ответ, выраженный в метрах, записать числом без единицы измерения.
Ответы
Дано:
h = 1 м
L = 80 см = 0,8 м
Δx = 1,5 м
L' = 1,3 м
H - ?
Решение:
Если из вершины фонаря провести линию до конца тени, отбрасываемой шестом, то эта линия пройдёт и через верхнюю точку шеста. Эта линия, высота фонаря, высота шеста, а также расстояние между фонарём и концом тени шеста, расстояние между шестом и концом его тени - всё это образует два прямоугольных треугольника, которые являются подобными (по общему углу).
Используем свойство подобия треугольников: если треугольники подобны, то отношение соответствующих их сторон всегда одно и то же (коэффициент подобия):
Н/h = (x + L)/L, где (x + L) - длина основания большого треугольника (это расстояние между краем тени шеста и нижней точкой фонаря).
Если расстояние между шестом и фонарём увеличить на Δх:
H/h = (x + Δx + L')/L'.
Приравняем правые части обоих уравнений друг к другу, чтобы выразить неизвестное "х":
(x + L)/L = (x + Δx + L')/L' | * LL'
(x + L)*L' = (x + Δx + L')*L
xL' + LL' = xL + ΔxL + LL'
xL' - xL = ΔxL
x*(L' - L) = ΔxL
x = ΔxL/(L' - L)
Теперь возьмём первое уравнение и подставим вместо "х" полученное выражение. Затем выразим высоту фонаря и найдём её значение:
H/h = (x + L)/L = (ΔxL/(L' - L) + L)/L = Δx/(L' - L) + 1
H = h*(Δx/(L' - L) + 1) = 1*(1,5/(1,3 - 0,8) + 1) = 1,5/0,5 + 1 = 3 + 1 = 4 м.
Ответ: 4.