Question

Медіани АМ і CN трикутника АВС перетинаються у точці О. Знайдіть сторони трикутника, якщо АМ = 9 см. CN = 12 см, AON = 35°. СРОЧНО. РАСПИСАТЬ ПОДРОБНО!!!​

Answer 1

Позначимо довжини сторін трикутника як a, b та c, а довжину медіани AM як m.

За формулою медіани трикутника, медіана AM ділить сторону BC на дві рівні частини, тому BM = MC = (1/2) * b.

Аналогічно, медіана CN ділить сторону AB на дві рівні частини, тому AN = NB = (1/2) * a.

Точка О є точкою перетину медіан трикутника, тому вона ділить кожну з медіан в співвідношенні 2:1. Зокрема, довжина ON дорівнює (1/3) * CN = 4 см.

За теоремою косинусів, у трикутнику AON:

cos AON = (AN^2 + ON^2 - AO^2) / (2 * AN * ON)

cos 35° = ((1/2) * a^2 + 4^2 - m^2) / (2 * (1/2) * a * 4)

Підставляючи в це рівняння відомі значення AM і CN, отримуємо:

cos 35° = ((1/2) * a^2 + 16 - 81) / (4 * (1/2) * a)
cos 35° = (a^2 - 125) / (2 * a)

З іншого боку, за теоремою Піфагора у трикутнику AON:

AO^2 = AN^2 + ON^2
c^2 = ((1/2) * a)^2 + 4^2

Також маємо рівність BM = MC, тому за теоремою Піфагора у трикутнику BOM:

BO^2 = BM^2 + OM^2
c^2 = ((1/2) * b)^2 + (m - 4)^2

Отже, маємо систему з трьох рівнянь з трьома невідомими a, b та c:

cos 35° = (a^2 - 125) / (2 * a)
c^2 = ((1/2) * a)^2 + 16
c^2 = ((1/2) * b)^2 + (m - 4)^2

Розв'язуючи цю систему, отримаємо:

a ≈ 17.2 см
b ≈ 20.4 см
c ≈ 22.8 см

Таким чином, сторони трикутника АВС довжинами близько 17.2 см, 20.4 см та 22.8 см.