Question

Докажите неравенство: x^2+2xy+3y^2+2x+6y+4>1​

Answer 1

Ответ:

Щоб розв'язати дану нерівність, можна спробувати скористатися методом доповнення до квадрату, який дозволяє перетворити квадратичний вираз в суму квадратів.

Почнемо з лівої частини нерівності:

x^2 + 2xy + 3y^2 + 2x + 6y + 4 > 1

Згрупуємо квадратичні доданки, що містять змінні x та y:

(x^2 + 2xy + y^2) + x^2 + 2x + 3y^2 + 6y + 4 > 1

Розкриваємо квадратний трьохчлен у дужках, використовуючи формулу (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:

(x + y)^2 + x^2 + 2x + 3y^2 + 6y + 4 > 1

Переносимо константи на праву сторону нерівності:

(x + y)^2 + x^2 + 2x + 3y^2 + 6y + 3 > 0

Тепер доповнимо вираз до квадрату, додавши та віднявши від нього півмножника, що дорівнює коефіцієнту при змінній x у квадратному члені:

(x + y)^2 + (x^2 + 2x + 1) + 3y^2 + 6y + 2 > 0

Згрупуємо квадратичні доданки, що містять змінні x та y:

(x + y)^2 + (x + 1)^2 + 3(y + 1)^2 > 0

Отримали вираз, який завжди більший за 0, тому початкова нерівність виконується для будь-яких значень змінних x та y.

Відповідь: нерівність виконується для будь-яких значень x та y.