13.12. Используя метод доказательства "от противного", докажите, что если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треуголь- ника, то такие треугольники равны. Помогите пожалуйста, срочнооооооооо. Даю 40 баллов
Ответы
Допустим, что у нас есть два прямоугольных треугольника ABC и A'B'C', у которых катеты и противолежащие им острые углы равны, но треугольники не равны.
По определению прямоугольного треугольника, угол между гипотенузой и катетом равен 90 градусам. Поэтому в треугольнике ABC угол BAC является прямым углом, а в треугольнике A'B'C' угол B'A'C' является прямым углом.
Также, по условию, длины катетов и противолежащих им острых углов равны. Пусть катеты этих треугольников равны AC и A'C', а противолежащие им острые углы равны углам B и B'. Тогда:
AC = A'C' (1)
B = B' (2)
Теперь рассмотрим гипотенузы этих треугольников. Обозначим их как AB и A'B'. По теореме Пифагора, гипотенузы прямоугольных треугольников выражаются следующим образом:
AB² = AC² + BC²
A'B'² = A'C'² + B'C'²
Так как AC = A'C' (из уравнения (1)), то получаем:
AB² = AC² + BC²
A'B'² = AC² + B'C'²
Заметим, что BC и B'C' являются противолежащими к углам A и A' соответственно. Так как углы A и A' равны (как противолежащие к равным катетам), то BC = B'C'.
Теперь мы можем записать:
AB² = AC² + BC²
A'B'² = AC² + B'C'² = AC² + BC²
Так как BC = B'C', то A'B'² = AB². Следовательно, гипотенузы AB и A'B' также равны.
Мы получили, что катеты и гипотенузы прямоугольных треугольников ABC и A'B'C' равны. Это означает, что треугольники ABC и A'B'C' равны по теореме о равенстве прямоугольных треугольников. Это противоречит тому, что мы предположили в начале, что эти треугольники не равны. Таким образом, мы доказали, что если катет и противолежащий е му острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.