1)знайдіть катети і другий гострий кут прямокутного трикутника в якого гіпотенуза c=12 см і кут a=38° округліть значення катетів із цого трикутника
2)Катет прямокутного трикутника відносится до гіпотенузи цого трикутника як 2 ÷ 5 Знайдіть точностью до градусів гостри кути цого трикутника.
3)Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 6 см і 10 см Знайдіть периметр трикутника
Ответы
Ответ:
1.Використовуючи співвідношення між гіпотенузою і катетами прямоугольного треугольника, можна виразити катети через гіпотенузу і угли: sin(a) = противолежащий катет / гіпотенуза => противолежащий катет = гіпотенуза * sin(a) ≈ 4,594 см cos(a) = прилежащий катет / гіпотенуза = > прилежащий катет = гіпотенуза * cos(a) ≈ 11,242 см Угол b, протилежний знайденому катету, рівн: b = 90° - a ≈ 52°
2.Пусть катет треугольника рівня 2x, а гіпотенуза - 5x. Тоді за допомогою теореми Піфагора можна записати урівнювання: (2x)^2 + b^2 = (5x)^2 Решаю це урівнювання відносно b, отримуємо: b = sqrt((5x)^2 - (2x)^2) ≈ 4.8 x Використовуючи визначення тригонометричних функцій, можна записати: sin(a) = 2x / 5x = 0,4 => a ≈ 23,6° cos(a) = b / 5x ≈ 0,96 => cos^-1(0,96) ≈ 15,2°
3.Обозначим катети прямоугольного треугольника через a і b, а біссектрису острого вугла, що виходить з вершини, що лежить на гіпотенузі, - через h. Тоді, використовуючи співвідношення між біссектрисою і катетами треугольника, можна записати систему урівень: h/a = b/(ca) h/b = a/(cb) Підставляючи дані з умов, отримуємо: h/a = 10/(12-6 ) = 2 h/b = 6/(12-6) = 1 Із першого урівнювання отримуємо, що b = (ca) h/a = 6 2 = 12 см. Із другого уравнення - що a = (cb) h/b = 10 1 = 10 см. Тоді периметр треугольника рівн: P = a + b + c = 10 + 12 + 12 = 34 см.
Объяснение:
1)У прямокутному трикутнику гіпотенуза завжди є найдовшою стороною, тому гіпотенуза цього трикутника має довжину 12 см, і кут а, прилеглий до одного з його катетів, має величину 38 градусів.
Застосовуючи тригонометричні функції, можна обчислити довжину катетів трикутника.
Так, з формули sin(a) = протилежний катет / гіпотенуза, ми можемо знайти довжину протилежного катета b:
sin(a) = b / c
b = c * sin(a)
b = 12 * sin(38)
b ≈ 7.3
Аналогічно, з формули cos(a) = прилеглий катет / гіпотенуза, ми можемо знайти довжину прилеглого катета:
cos(a) = a / c
a = c * cos(a)
a = 12 * cos(38)
a ≈ 9.3
Таким чином, довжина першого катета дорівнює близько 9.3 см, довжина другого катета дорівнює близько 7.3 см, а другий гострий кут має величину 52 градуси. Округлення значень катетів до цілих чисел дає нам відповіді: перший катет - 9 см, другий катет - 7 см
2)Застосуємо теорему Піфагора, щоб знайти довжину другого катету:
a² + b² = c²
(2x)² + b² = (5x)²
4x² + b² = 25x²
b² = 25x² - 4x²
b² = 21x²
b = sqrt(21)x
Тепер можемо знайти значення синуса і косинуса кута або b, використовуючи відношення катету та гіпотенузи:
sin(α) = b/c = sqrt(21)x/5x = sqrt(21)/5
cos(α) = a/c = 2x/5x = 2/5
Таким чином, ми знаємо значення синуса і косинуса кута b, а тому можемо використати табличні значення для знаходження гострого кута.
Знаючи, що sin(α) = sqrt(21)/5, ми можемо знайти градусний міру кута α, використовуючи обернену функцію синуса:
α = arcsin(sqrt(21)/5)
За допомогою калькулятора або таблиці тригонометричних значень, ми можемо отримати, що α ≈ 66.4° (округлено до однієї десятої).
Отже, гострий кут цього прямокутного трикутника дорівнює близько 66.4 градусів
3)a і b - катети прямокутного трикутника, і х - довжина бісектриси, яка ділить менший катет на дві рівні частини. Тоді ми маємо:
a:b = x:(b-x)
Оскільки x ділить менший катет на дві рівні частини, то b-x також ділить менший катет на дві рівні частини, тобто b-x = 6 см.
Тоді ми можемо записати:
a:b = x:(b-x) = x/6
Так як бісектриса гострого кута ділить менший катет на відрізки 6 см і 10 см, то:
x/6 = 10/(b-x)
x(b-x) = 60
xb - x^2 = 60
x^2 - xb + 60 = 0
Розв'язуючи це квадратне рівняння відносно x, отримуємо:
x = (b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
x = (b ± sqrt(b^2 - 240)) / 2
Оскільки x - довжина бісектриси гострого кута, то x має бути менше довжини меншого катету, тобто x < 6. Тому нашим вибором є формула з від'ємним коренем:
x = (b - sqrt(b^2 - 240)) / 2
Тепер ми можемо використати теорему Піфагора для знаходження гіпотенузи:
c^2 = a^2 + b^2
c^2 = (6 + 10)^2 + (2x)^2
c^2 = 256 + 4x^2
Замінюючи x у цій формулі, отримаємо:
c^2 = 256 + 4[(b - sqrt(b^2 - 240)) / 2]^2
c^2 = 256 + (b^2 - 240) / 2
2c^2 = 512 + b^2 - 240
b^2 = 2c^2 - 272
b = sqrt(2c^2 - 272)
Отже, периметр трикутника дорівнює:
a + b + c = 6 + sqrt(2c^2 - 272) + sqrt(256 + 4x^2)
Заміняємо x у цій формулі, отримуємо:
a + b + c = 6 + sqrt(2c^2 - 272) + sqrt(256 + 4[(b - sqrt(b^2 - 240)) / 2]^2)