СРОЧНО 100 БАЛОВ
Большая основа равносторонней трапеции равна 12 см, ее боковая сторона 4 корня из 5 см, а тангенс острого угла трапеции равен 2. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей ее меньшее основание. Найдите объем тела вращения.
Ответы
Ответ:
Первым шагом нам необходимо найти высоту равнобедренной трапеции. Так как тангенс острого угла равен 2, то соответствующий катет равен 4, а другой катет равен высоте трапеции h. Тогда:
tan α = 2 = h/4
h = 8
Заметим, что боковая сторона 4 корня из 5 см соответствует боковой стороне прямоугольного треугольника с катетами 4 и корнем из 5, значит, гипотенуза равна 6. Тогда меньшая основа равна:
a = (12 - 6) / 2 = 3
Теперь мы можем найти площадь трапеции:
S = (a + b)h / 2 = (3 + 12) * 8 / 2 = 60
Объем тела вращения получим с помощью формулы:
V = π * ∫(a, b) y^2 dx
где y - расстояние от каждой точки профиля трапеции до оси вращения. Так как трапеция вращается вокруг своего меньшего основания, ось вращения будет находиться на расстоянии 3 см от плоскости профиля.
Тогда, расстояние y от каждой точки профиля до оси вращения будет равно разности расстояний от этой точки до меньшей и большей основы:
y = (3 - x)
Границы интегрирования x будут равны 0 и 12. Тогда:
V = π * ∫(0, 12) (3 - x)^2 dx = π * [x^3 / 3 - 6x^2 + 36x]_0^12 = 516π
Ответ: объем тела вращения равен 516π кубических сантиметров
Объяснение: