будь ласка допоможіть
через вершину конуса і хорду його основи проведено площину, яка утворює з основою конуса кут 60° Знайдіть об'єм конуса, якщо цю хорду видно з центра основи конуса під кутом 90° і вона віддалена від центра основи на 6 см
Ответы
Пояснення:
Позначимо за V об'єм конуса, за R - радіус його основи, а за H - його висоту.
Так як згідно умови площина, яка проходить через вершину і хорду, утворює з основою конуса кут 60°, то ми можемо скористатися відомим фактом, що у правильному трикутнику кут між середньою і стороною дорівнює 60°. Оскільки хорда - це діаметр основи, то відрізок, який з'єднує центр основи з точкою дотику площини до основи, є середньою лінією трикутника, і тому його довжина дорівнює R.
Далі, оскільки хорда віддалена від центра основи на 6 см, то відрізок, який з'єднує центр основи з точкою, яка є серединою хорди, дорівнює 6 см. Це означає, що пряма, яка проходить через центр основи і середину хорди, є висотою конуса.
Тепер можемо виразити R і H через радіус хорди r, який можна знайти за допомогою теореми Піфагора в правильному трикутнику, утвореному хордою і відрізком, який з'єднує центр основи з точкою дотику площини до хорди:
r² = (R-6)² + H²,
R² = r² + H².
Розв'язавши ці рівняння відносно R та H, отримаємо:
R = (r² + 36)/(2r),
H = √(r² - R²) = √(r² - (r² + 36)²/(4r²)).
Об'єм конуса можна знайти за формулою V = (1/3)πR²H. Підставляючи знайдені значення для R та H, отримаємо:
V = (1/3)π[(r² + 36)/(2r)]² √(r² - (r² + 36)²/(4r²)).
Цю формулу можна спростити, замінивши √(r² - (r² + 36)²/(4r