Найдите наименьшее нечётное простое число р. для которого существуют положительные взаимно простые целые числа к и м, такие что
4k - 3m = 12, m² + mk + k² = 3(modp)
Ответы
Ответ:7
Пошаговое объяснение:
Рассмотрим уравнение m² + mk + k² = 3 (mod p). Оно представляет собой квадратное уравнение относительно переменной m. Его дискриминант равен (-3k²), который должен быть квадратом целого числа. Таким образом, 3k² является квадратом по модулю p. В частности, p не может быть равным 2.Поскольку k и t взаимно просты, можно рассмотреть случай k нечётное. Пусть k = 2n + 1, где n – целое число. Тогда уравнение 4k - 3m = 12 принимает вид m = 4n + 4.Подставим это выражение для m в уравнение m² + mk + k² = 3(modp), получим(4n + 4)² + (2n + 1)(4n + 4) + (2n + 1)² = 3 (mod p).Раскрыв скобки, получим13n² + 26n + 13 = 0 (mod p).Это квадратное уравнение относительно переменной n. Его дискриминант равен (-3), который должен быть квадратом целого числа. Следовательно, (-3) должно быть квадратом по модулю p. Поскольку p не может быть равным 2, мы можем рассмотреть только нечётные простые числа p.Перебирая нечётные простые числа p, мы находим, что для p = 7 выполняется условие (-3) = 4 (mod p). Таким образом, (-3) является квадратом по модулю 7. Решая уравнение 13n² + 26n + 13 = 0 (mod 7), получаем n = 4 (mod 7) или n = 5 (mod 7). Соответственно, мы можем рассмотреть два случая:n = 4 (mod 7). Тогда k = 9 (mod 7), m = 20 (mod 7), что противоречит взаимной простоте k и m.n = 5 (mod 7). Тогда k = 11 (mod 7), m = 24 (mod 7). Заметим, что 11 и 24 взаимно просты, поэтому этот случай подходит.Таким образом, мы нашли необходимые значения k и m для p = 7: k = 11, m = 24. Это означает, что наименьшее нечётное простое число, удовлетворяющее условию задачи, равно 7.