Question

СРОЧНО, ПОМОГИТЕ (xy-zt)(yz-xt)(xz-yt) нужно доказать, что получится точный квадрат 100 баллов

Answer 1

Ответ:

Для доказательства, что выражение $(xy-zt)(yz-xt)(xz-yt)$ можно привести к точному квадрату, мы можем воспользоваться тождеством:

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$

Применив это тождество три раза, мы получим:

\begin{align*}

&(xy-zt)(yz-xt)(xz-yt) \

&= x^2y^2z^2 - x^2y^2t^2 - x^2z^2t^2 + y^2z^2t^2 + 2x^2yzt^2 - 2xy^2zt^2 - 2xyz^2t^2 + 2xyzt^3 \

&= (xyzt)^2 - (xyt)^2 - (xzt)^2 + (yzt)^2 + 2t^2(xyz)^2 - 2t^2(xyt)^2 - 2t^2(xzt)^2 + 2t^3xyz

\end{align*}

Заметим, что первые четыре члена являются квадратами выражений, а оставшиеся четыре члена можно привести к квадрату, добавив соответствующее слагаемое $t^4(x^2+y^2+z^2)$:

$$(xy-zt)(yz-xt)(xz-yt) = (xyzt-tyz+xzt-xyt)^2 + t^2(xyz-xzt-xyt+yzt)^2 + t^4(x^2+y^2+z^2)$$

Таким образом, мы получили, что выражение $(xy-zt)(yz-xt)(xz-yt)$ можно привести к сумме трех квадратов:

$$(xy-zt)(yz-xt)(xz-yt) = (A^2+B^2+C^2)$$

где:

$$A=xyzt-tyz+xzt-xyt$$

$$B=t(xyz-xzt-xyt+yzt)$$

$$C=t^2\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

Таким образом, мы доказали, что $(xy-zt)(yz-xt)(xz-yt)$ является точным квадратом суммы трех квадратов.

Объяснение: